logo

初期条件が0の波動方程式の解。 📂偏微分方程式

初期条件が0の波動方程式の解。

整理

次のような波動方程式が与えられたとする。 この時、Δx\Delta_{\mathbf{x}}は変数x\mathbf{x}に対するラプラシアンである。

∂t2p(x,t)=Δxp(x,t)on R×[0,∞)p(x,0)=f(x)on R∂tp(x,0)=0on R \begin{align} \partial_{t}^{2} p(\mathbf{x}, t) &= \Delta_{\mathbf{x}} p(\mathbf{x}, t) &\text{on } \mathbb{R} \times [0, \infty) \\ p(\mathbf{x}, 0) &= f(\mathbf{x}) &\text{on } \mathbb{R} \\ \partial_{t} p(\mathbf{x}, 0) &= 0 &\text{on } \mathbb{R} \end{align}

上辺微分方程式の解は次の通りである。

p(x,t)=1(2π)n∫Rnf^(ξ)cos⁡(t∣ξ∣)eix⋅ξdξ \begin{equation} p(\mathbf{x}, t) = \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{f} (\boldsymbol{\xi}) \cos (t \left| \boldsymbol{\xi} \right|) e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi} \end{equation}

このときf^\hat{f}はffの「フーリエ変換」（../1086）である。 今回は初期条件が以下のように与えられた波動方程式を考えてみよう。

∂t2p(x,t)=Δxp(x,t)on R×[0,∞)p(x,0)=0on R∂tp(x,0)=g(x)on R \begin{align*} \partial_{t}^{2} p(\mathbf{x}, t) &= \Delta_{\mathbf{x}} p(\mathbf{x}, t) &\text{on } \mathbb{R} \times [0, \infty) \\ p(\mathbf{x}, 0) &= 0 &\text{on } \mathbb{R} \\ \partial_{t} p(\mathbf{x}, 0) &= g(\mathbf{x}) &\text{on } \mathbb{R} \end{align*}

上辺微分方程式の解は次の通りである。

p(x,t)=1(2π)n∫Rng^(ξ)sin⁡(t∣ξ∣)∣ξ∣eix⋅ξdξ p(\mathbf{x}, t) = \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{g} (\boldsymbol{\xi}) \dfrac{\sin (t \left| \boldsymbol{\xi} \right|)}{\left| \boldsymbol{\xi} \right|} e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi}

説明

「フーリエ変換」(../1086)と「逆変換」(../1112)の定義を以下のようにしておこう。

f^(ξ)=∫Rnf(x)eiξ⋅xdx,f(x)=1(2π)n∫Rnf(x)eix⋅ξdξ \hat{f}(\boldsymbol{\xi}) = \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} f(\mathbf{x}) e^{\mathrm{i} \boldsymbol{\xi} \cdot \mathbf{x}} \mathrm{d} \mathbf{x}, \qquad f(\mathbf{x}) = \dfrac{1}{(2\pi)^{n}}\int\limits_{\mathbb{R}^{n}} f(\mathbf{x}) e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi}

後者の証明法は前者と大同小異なので省略する。

証明

(4)(4)が(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)を満足させるか確認するだけだ。 まず、時間に対する2階導関数を計算してみると、

∂t2p(x,t)=−∣ξ∣21(2π)n∫Rnf^(ξ)cos⁡(t∣ξ∣)eix⋅ξdξ \partial_{t}^{2} p(\mathbf{x}, t) = -\left| \boldsymbol{\xi} \right|^{2} \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{f} (\boldsymbol{\xi}) \cos (t \left| \boldsymbol{\xi} \right|) e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi}

ラプラシアンを計算してみると次のようになる。

Δxp(x,t)=1(2π)n∫Rnf^(ξ)cos⁡(t∣ξ∣)(Δxeix⋅ξ)dξ=(−∣ξ∣2)1(2π)n∫Rnf^(ξ)cos⁡(t∣ξ∣)eix⋅ξdξ \begin{align*} \Delta_{\mathbf{x}} p(\mathbf{x}, t) &= \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{f} (\boldsymbol{\xi}) \cos (t \left| \boldsymbol{\xi} \right|) (\Delta_{\mathbf{x}} e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}}) \mathrm{d} \boldsymbol{\xi} \\ &= (- \left| \boldsymbol{\xi} \right|^{2}) \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{f} (\boldsymbol{\xi}) \cos (t \left| \boldsymbol{\xi} \right|) e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi} \\ \end{align*}

したがって(1)(1)が成立する。 p(x,0)p(\mathbf{x}, 0)を計算してみると次のようになるので(2)(2)が成立する。

p(x,0)=1(2π)n∫Rnf^(ξ)cos⁡(0∣ξ∣)eix⋅ξdξ=1(2π)n∫Rnf^(ξ)eix⋅ξdξ=f(x) \begin{align*} p(\mathbf{x}, 0) &= \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{f} (\boldsymbol{\xi}) \cos ( 0 \left| \boldsymbol{\xi} \right|) e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi} \\ &= \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{f} (\boldsymbol{\xi}) e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi} \\ &= f(\mathbf{x}) \end{align*}

(3)(3)が成立することも容易に確認できる。

∂tp(x,0)=−∣ξ∣∫Rnf^(ξ)sin⁡(0∣ξ∣)eix⋅ξdξ=0 \begin{align*} \partial_{t}p(\mathbf{x}, 0) &= - \left| \boldsymbol{\xi} \right| \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \hat{f} (\boldsymbol{\xi}) \sin ( 0 \left| \boldsymbol{\xi} \right|) e^{\mathrm{i} \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\xi}} \mathrm{d} \boldsymbol{\xi} \\ &= 0 \end{align*}

■