📂関数

特殊関数とは?

説明

数学で特殊関数^{special function}と呼ばれるものは、通常、特定の微分方程式の解であったり、複雑な積分で定義されたり、初等関数で表すことができなかったり、数学的に興味深い性質を持っているものだ。だから、人の名前、アルファベット、ギリシャ文字を名前として持つことが多いが、実際には多項関数、三角関数、指数関数、対数関数を除くほとんど全ての名前がついた関数を特殊関数と呼んでいいと言える。説明を見れば分かるように、どの関数が特殊関数であるかでないかを概念的に厳密に区分して呼ぶわけではない。

例

ガンマ関数

ガンマ関数は、次のような不適切積分で定義される特殊関数だ。

$$\Gamma (x) := \int\limits_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$$

数学や物理学を含む多くの自然科学や工学の分野で登場し、階乗の定義域を自然数から実数(複素数)に拡張したものと理解できる。実際、自然数$n \in \mathbb{N}$に対して次が成り立つ。

$$\Gamma (n) = (n-1)!$$

リスト

積分で定義される

• ガンマ関数:

  $$\Gamma (x) := \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$$

• ベータ関数:

  $$B(p,q) := \int_{0}^{1}t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$$

• 第二種楕円積分:

  $$E(\phi, k)=\int_{0}^{\phi}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta}d\theta$$

級数で定義される

• ベッセル関数:

  $$J_{\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2} \right)^{2n+\nu}$$

• 第二種ベッセル関数:

  $$N_{\nu}(x) = Y_{\nu}(x) := \frac{\cos (\nu \pi)J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin (\nu\pi)}$$

• 第三種ベッセル関数:

  $$H_{p}^{(1)}(x) := J_{p}(x)+iN_{p}(x) \\ H_{p}^{(2)}(x) := J_{p}(x)-iN_{p}(x)$$

• 変形ベッセル関数:

  $$\begin{align*} I_{\nu}(x) & =i^{-\nu}J_{\nu}(ix) \\ K_{\nu}(x) &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}\left[ J_{\nu}(ix)+iN_{\nu}(ix) \right] \\ &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}H_{p}^{(1)}(ix) \\ &=\frac{\pi}{2}\frac{I_{-\nu}(x)-I_{\nu}(x)}{\sin (\nu\pi )} \end{align*}$$

• エアリー関数:

  $$\begin{align*} \operatorname{Ai}(x) &= \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{x}{3}}K_{1/3}\left( \frac{2}{3}x^{2/3} \right) \\ \operatorname{Bi}(x) &= \sqrt{\frac{x}{3}}\left[ I_{-1/3}\left( \frac{2}{3}x^{3/2} \right) + I_{1/3} \left( \frac{2}{3}x^{2/3} \right) \right] \end{align*}$$

• リーマンゼータ関数:

  $$\zeta (s) := \sum_{n \in \mathbb{N}} n^{-s} = \prod_{p : \text{prime}} \left( 1- {p^{-s}} \right)^{-1}$$

多項式で定義される

• ルジャンドル多項式:

  $$P_{l}(x)=\dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}$$

• 関連ルジャンドル多項式:

  $$\begin{align*} P_{l}^{m}(x) &= (1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} } P_{l}(x) \\ &=(1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} }\left[ \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l\right] \end{align*}$$

• エルミート多項式:

  $$H_{n} = (-1)^{n} e^{x^2} {{d^{n}} \over {dx^{n}}} e^{-x^2}$$

• ラゲール多項式:

  $$L_{n}(x) = \frac{1}{n!}e^{x}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }(x^{n}e^{-x})$$