📂古典力学

物理学における自由度とは?

定義

粒子系全体の座標の中でお互いに独立している座標の数を自由度^{degree of freedom}という。

説明

簡単に言うと、自由度とは粒子系を表現するために必要な最小限の変数の数である。三次元空間で自由に運動する粒子を考えてみよう。この粒子の位置は$r = (x,y,z)$で表現でき、この時、各軸の変数$x, y, z$は互いに独立しているので、この粒子系の自由度は$3$である。

下の例のように、粒子の運動に特定の条件が加えられると、自由度が減るが、このような条件を拘束条件^constraintと呼ばれる。また、自由度が$n$である粒子系を$n$の座標で表したものを一般化座標^{generalized coordinates}という。

円運動

二次元空間で単位円を軌道とする円運動する粒子を考えてみよう。粒子の位置は$r = (x,y)$で表せる。この場合、$y=\sqrt{1-x^{2}}$であるので、この粒子系の自由度は$2-1=1$である。

$$\begin{align*} x &= x\\ y &= \sqrt{1 - x^{2}} \end{align*} \quad \implies \quad r = (x, \sqrt{1-x^{2}})$$

もちろん、この場合は角度$\theta$で表す方がずっと便利だ。 $$r = (\cos\theta, \sin\theta)$$ ここで、拘束条件は$x^{2} + y^{2} = 1$で、一般化座標は$\theta$である。

複式振り子

半径が$R, r (R \gt r)$の複式振り子を考えてみよう。二次元で二つの振り子の位置を表すためには4つの座標$(x_{1}, y_{1})$、$(x_{2}, y_{2})$が必要だが、自由度は$2$である。二つの振り子が$x$軸と作る角度を$\theta_{1}, \theta_{2}$とすると、これら二つの変数で粒子系の全位置を表せる。

$$\begin{align*} x_{1} &= R\cos\theta_{1} \\ y_{1} &= R\sin\theta_{1} \\ x_{2} &= R\cos\theta_{1} + r\cos\theta_{2} \\ y_{2} &= R\sin\theta_{1} + r\sin\theta_{2} \end{align*}$$

ここで、一般化座標は$(\theta_{1}, \theta_{2})$である。