📂偏微分方程式

微分演算子とシンボル

定義¹

自然数 $m \in \mathbb{N}$に対して、微分演算子^{differential operator}とは、次のような写像 $P$を意味する。

$$\begin{equation} P = \sum\limits_{\left| \alpha \right| \le m} a_{\alpha}(x) D^{\alpha},\qquad x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \end{equation}$$

ここで、$\alpha = (\alpha_{1}, \dots, \alpha_{n})$は多重指数だ。$D^{\alpha}$は次のようだ。

$$\begin{align*} D^\alpha &:= \dfrac{\partial ^{|\alpha|} } {{\partial x_{1}}^{\alpha_{1}}\cdots {\partial x_{n}}^{\alpha_{n}}} \\ &= \left( \frac{ \partial }{ \partial x_{1}} \right)^{\alpha_{1}}\left( \frac{ \partial }{ \partial x_{2}} \right)^{\alpha_{2}}\cdots \left( \frac{ \partial }{ \partial x_{n}} \right)^{\alpha_{n}} \\ &= \partial^{\alpha_{1}}_{x_{1}}\cdots\partial^{\alpha_{n}}_{x_{n}} \end{align*}$$

説明

$P$は適切な関数空間 $X$、$Y$の間の写像だ。もちろん、$X$の元は少なくとも一度微分可能でなければならない。

$$P : X \to Y$$

シンボル

$(1)$の$D$に変数 $\xi = (\xi_{1}, \dots, \xi_{n})$を代入して得られる多項式 $p$を$P$のトータルシンボル^{total symbol}という。

$$p(x,\xi) = \sum\limits_{\left| \alpha \right| \le m} a_{\alpha}(x) \xi^{\alpha},\qquad \xi^{\alpha} = \xi^{\alpha}_{1} \dots \xi^{\alpha}_{n}$$

また、次の多項式 $\sigma (x, \xi)$を$P$の主要シンボル^{principal symbol}という。

$$\sigma (x, \xi) = \sum\limits_{\left| \alpha \right| = m} a_{\alpha}(x) \xi^{\alpha}$$

説明

トータルシンボル $p$は定義により$(1)$を満たすが、逆に$(1)$を満たす多項式 $p$を$P$のトータルシンボルと定義してもいい。

フーリエ変換との関係

フーリエ変換の性質により、次が成立する。

$$\mathcal{F}[Df] (\xi) = i\xi \mathcal{F}f (\xi) \implies Df (x) = \mathcal{F}^{-1} \left[ i\xi \mathcal{F}f (\xi) \right] (x)$$

したがって、次を得る。

$$\begin{align} P f(x) &= \mathcal{F}^{-1} \left[ p(\cdot, i\xi) \hat{f}(\xi) \right] (x) \nonumber \\ &= \dfrac{1}{(2 \pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}} p(x,i\xi)\hat{f}(\xi) e^{i x \cdot \xi} d\xi \end{align}$$