バイハーモニック関数
定義1
$\Delta = \nabla^{2}$をラプラシアンと呼ぼう。$\Delta ^{2}$をバイハーモニックオペレーター又はバイラプラシアンという。以下の方程式をバイハーモニック方程式という。
$$ \Delta^{2} f = 0 $$
バイハーモニック方程式の解をバイハーモニック関数という。
説明
$\partial_{i} = \dfrac{\partial}{\partial x_{i}}$としよう。デカルト座標系では、$\Delta = \sum\limits_{i} \partial_{i}\partial_{i}$であるため、
$$ \Delta^{2} f = \sum\limits_{j} \sum\limits_{i} \partial_{j}\partial_{j} \partial_{i}\partial_{i} f $$
特に3次元では、
$$ \begin{align*} \Delta^{2}g &= \sum\limits_{j=1}^{3} \partial_{j}\partial_{j} \left( \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\right) \\ &= \dfrac{\partial^{4} f}{\partial x^{4}} + \dfrac{\partial^{4} f}{\partial y^{4}} + \dfrac{\partial^{4} f}{\partial z^{4}} + 2\dfrac{\partial^{4} f}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + 2\dfrac{\partial^{4} f}{\partial y^{2} \partial z^{2}} + 2\dfrac{\partial^{4} f}{\partial z^{2} \partial x^{2}} \\ \end{align*} $$