📂レンマ

sin(x)/xの極限

公式

$$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 $$

証明

半径が $1$ の扇形 $OAB$ が与えられたとする。点 $B$ から線分 $\overline{OA}$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。そして、線分 $\overline{OB}$ と $\overline{OA}$ を延長して交わった交点を $C$ とする。

すると各線分の長さは次のようになる。

$$ \overline{OH} = \cos \theta, \qquad \overline{BH} = \sin \theta, \qquad \overline{AC} = \tan θ $$

三角形 $OBH$ の面積は $\dfrac{1}{2} \times \overline{OH} \times \overline{BH} = \dfrac{1}{2} \cos\theta \sin\theta$ である。扇形 $OAB$ の面積は $\dfrac{1}{2} \theta r^{1} = \dfrac{1}{2} \theta$ である。また、三角形 $OAC$ の面積は $\dfrac{1}{2} \overline{OA} \times \overline{AC} = \dfrac{1}{2} \tan\theta$ である。この三つの図形の面積の間には次の不等式が成り立つ。

$$ \dfrac{1}{2} \cos\theta \sin\theta \lt \dfrac{1}{2} \theta \lt \dfrac{1}{2} \tan\theta \implies \cos\theta \sin\theta \lt \theta \lt \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} $$

上記の不等式の逆数を取ると次のようになる。

$$ \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} \lt \dfrac{1}{\theta} \lt \dfrac{1}{\sin\theta \cos\theta} $$

$\theta$ が鋭角なので、各項に $\sin \theta$ を掛けても不等号の向きは変わらない。

$$ \cos\theta \lt \dfrac{\sin\theta}{\theta} \lt \dfrac{1}{\cos\theta} $$

ここで $\theta \to 0$ の極限を取ると、サンドイッチ定理 によって次のようになる。

$$ \begin{align*} && \lim\limits_{\theta \to 0} \cos\theta \lt \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta}{\theta} \lt \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{1}{\cos\theta} \\ \implies && 1 \lt \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta}{\theta} \lt 1 \\ \implies && \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta}{\theta} = 1 \end{align*} $$

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