logo

sin(x)/xの極限 📂レンマ

sin(x)/xの極限

公式

lim⁡x→0sin⁡xx=1 \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1

証明

半径が 11 の扇形 OABOAB が与えられたとする。点 BB から線分 OA‾\overline{OA} に下ろした垂線の足を HH とする。そして、線分 OB‾\overline{OB} と OA‾\overline{OA} を延長して交わった交点を CC とする。

すると各線分の長さは次のようになる。

OH‾=cos⁡θ,BH‾=sin⁡θ,AC‾=tan⁡θ \overline{OH} = \cos \theta, \qquad \overline{BH} = \sin \theta, \qquad \overline{AC} = \tan θ

三角形 OBHOBH の面積は 12×OH‾×BH‾=12cos⁡θsin⁡θ\dfrac{1}{2} \times \overline{OH} \times \overline{BH} = \dfrac{1}{2} \cos\theta \sin\theta である。扇形 OABOAB の面積は 12θr1=12θ\dfrac{1}{2} \theta r^{1} = \dfrac{1}{2} \theta である。また、三角形 OACOAC の面積は 12OA‾×AC‾=12tan⁡θ\dfrac{1}{2} \overline{OA} \times \overline{AC} = \dfrac{1}{2} \tan\theta である。この三つの図形の面積の間には次の不等式が成り立つ。

12cos⁡θsin⁡θ<12θ<12tan⁡θ  ⟹  cos⁡θsin⁡θ<θ<sin⁡θcos⁡θ \dfrac{1}{2} \cos\theta \sin\theta \lt \dfrac{1}{2} \theta \lt \dfrac{1}{2} \tan\theta \implies \cos\theta \sin\theta \lt \theta \lt \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}

上記の不等式の逆数を取ると次のようになる。

cos⁡θsin⁡θ<1θ<1sin⁡θcos⁡θ \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} \lt \dfrac{1}{\theta} \lt \dfrac{1}{\sin\theta \cos\theta}

θ\theta が鋭角なので、各項に sin⁡θ\sin \theta を掛けても不等号の向きは変わらない。

cos⁡θ<sin⁡θθ<1cos⁡θ \cos\theta \lt \dfrac{\sin\theta}{\theta} \lt \dfrac{1}{\cos\theta}

ここで θ→0\theta \to 0 の極限を取ると、サンドイッチ定理 によって次のようになる。

lim⁡θ→0cos⁡θ<lim⁡θ→0sin⁡θθ<lim⁡θ→01cos⁡θ  ⟹  1<lim⁡θ→0sin⁡θθ<1  ⟹  lim⁡θ→0sin⁡θθ=1 \begin{align*} && \lim\limits_{\theta \to 0} \cos\theta \lt \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta}{\theta} \lt \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{1}{\cos\theta} \\ \implies && 1 \lt \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta}{\theta} \lt 1 \\ \implies && \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta}{\theta} = 1 \end{align*}

■