線形代数における射影
定義
正方行列 $P \in \mathbb{C}^{m \times m}$ が $P^2 = P$ であれば、射影作用素projectorという。
説明
代数学の用語では、冪等元idempotentと表現し、同様に $a^2 = a$ のような元を指す。
$P$ が射影であるなら、$(I-P)^2 = I - 2P + P^2 = I - 2P + P = (I-P)$ であり、従って $(I-P)$ も射影であることがわかる。
このような射影作用素 $(I - P)$ を $P$ の補射影作用素complementary Projectorと呼ぶ。
射影を幾何学的に考えると、空間図形に光を当ててその影を得ることである。例えば、$f(x,y,z) := (x,y,0)$ のような関数は $z$ 軸の方向に光を投げて、$xy$ 平面にできる影を表す。その影を再度射影しても結果は同じで、その意味で $P^2 = P$ が射影作用素である定義は理にかなっていると言える。
性質
射影 $P \in \mathbb{C}^{m \times m}$ とその補射影 $I-P$ は次の性質を満たす。
(a) $\mathcal{C} (I-P) = \mathcal{N} (P)$
(b) $\mathcal{N} (1-P) = \mathcal{C} (P)$
(c) $\mathcal{N} (1-P) \cap \mathcal{N} (P) = \left\{ 0 \right\}$
(d) $\mathcal{C} (P) \cap \mathcal{N} (P) = \left\{ 0 \right\}$
(e) $\mathcal{C} (P) \oplus \mathcal{N} (P) = \mathbb{C}^{m}$
証明
(a)(b)
$\mathcal{C} ( I - P)$ と $\mathcal{N}(P)$ が互いに含まれることを示せばよい。任意のベクトル $\mathbb{v} \in \mathbb{C}^{m}$ に対して、
$$ (I - P) \mathbb{v} = \mathbb{v} - P \mathbb{v} $$
もし $\mathbb{v} \in \mathcal{N} (P)$ ならば、$P \mathbb{v} = \mathbb{0}$ となり、従って $(I - P) \mathbb{v} = \mathbb{v}$、つまり $\mathbb{v} \in \mathcal{C} (I - P)$ であり、
$$ \mathcal{N} (P) \subset \mathcal{C} (I - P) $$
$\mathbb{w} \in \mathcal{C} (I-P)$ とすると、$\mathbb{w} = (I - P) \mathbb{v}$ を満たす $\mathbb{v}$ も $\mathcal{C} (I-P)$ に存在する。$\mathbb{w} = (I - P) \mathbb{v}$ に射影 $P$ を適用すると、
$$ P \mathbb{w} = P \mathbb{v} - P^2 \mathbb{v} = P \mathbb{v} - P \mathbb{v} = \mathbb{0} $$
つまり $\mathbb{w} \in \mathcal{N} (P)$ であり、従って、
$$ \mathcal{C} (I - P) \subset \mathcal{N} (P) $$
これにより (1) が証明され、$P = I - (I- P)$ であるから、射影 $P$ の補射影 $(I - P)$ について考えると、すぐに (2) が証明される。
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(c)(d)
$\mathbb{v} \in \mathcal{N} (I - P) \cap \mathcal{N} (P)$ が零ベクトルではないと仮定する。しかし、$\mathbb{v} \in \mathcal{N} (I - P)$ であるから、$(I-P) \mathbb{v} = \mathbb{0}$ であり、$\mathbb{v} \in \mathcal{N} (P)$ であるから、
$$ P \mathbb{v} = \mathbb{0} $$
両辺を足せば $(I-P) \mathbb{v} + P \mathbb{v} = \mathbb{v} = \mathbb{0}$ となり、これは仮定に矛盾する。
これにより (3) が証明され、1 と 2 によってすぐに 4 も証明される。
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(e)
直和の定義に従い、存在性、排他性、一意性を示せばよい。
(i) 存在性
(a) により $\mathcal{N} (P) = \mathcal{C} (I - P)$ であり、任意のベクトル $\mathbb{s} \in \mathbb{C}^{m}$ に対して、$P \mathbb{s} \in \mathcal{C}(P)$ そして $(I - P)\mathbb{s} \in \mathcal{C} (I - P)$ である。
一方、$P \mathbb{s} + (I - P) \mathbb{s} = P \mathbb{s} + \mathbb{s} - P \mathbb{s} = s \in \mathbb{C}^{m}$ であるから、$\mathbb{s}$ は常に $\mathcal{C}(P)$ と $\mathcal{C} (I - P)$ の和として表すことができる。
(ii) 排他性
既に (d) で証明されている。
(iii) 一意性
上記の (ii) により、$s \in \mathbb{C}^{m}$ に対して、
$$ \mathbb{s} = \mathbb{c}_{1} + \mathbb{n}_{1} = \mathbb{c}_{2} + \mathbb{n}_{2} $$
を満たす $\mathbb{c}_{1} , \mathbb{c}_{2} \in \mathcal{C}(P)$ と $\mathbb{n}_{1}, \mathbb{n}_{2} \in \mathcal{N}(P)$ が存在する。
ここで $\mathbb{c}_{1} \ne \mathbb{c}_{2} $ と $\mathbb{n}_{1} \ne \mathbb{n}_{2}$ と仮定する。
$\mathbb{c}_{1} + \mathbb{n}_{1} = \mathbb{c}_{2} + \mathbb{n}_{2}$ の両辺に $P$ を乗じると、
$$ P\mathbb{c}_{1} + P\mathbb{n}_{1} = P\mathbb{c}_{2} + P\mathbb{n}_{2} $$
一方、$\mathbb{n}_{1}, \mathbb{n}_{2} \in \mathcal{N} (P)$ であるから、
$$ P\mathbb{c}_{1} = P\mathbb{c}_{2} $$
つまり $P( \mathbb{c}_{1} - \mathbb{c}_{2} ) = \mathbb{0}$。零空間の定義から、$( \mathbb{c}_{1} - \mathbb{c}_{2}) \in \mathcal{N}(P)$ であり、ベクトル空間の性質から、$( \mathbb{c}_{1} - \mathbb{c}_{2}) \in \mathcal{C}(P)$ だが、(排他性) により、$\mathbb{c}_{1} - \mathbb{c}_{2} = \mathbb{0}$ でなければならない。
これは $\mathbb{c}_{1} \ne \mathbb{c}_{2}$ という仮定と矛盾するし、同様に $\mathbb{n}_{1} = \mathbb{n}_{2}$ も証明できる。
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