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二次形式 📂線形代数

二次形式

定義

VVをnn次元のベクトル空間と呼ぶ。与えられた定数aij∈R(or C)a_{ij} \in \mathbb{R}(\text{or } \mathbb{C})について、以下の2次斉次関数A:V→R(or C)A : V \to \mathbb{R}(\text{or } \mathbb{C})を二次形式という。

A(x):=∑i,j=1naijxixj,(aij=aji) A(\mathbf{x}) := \sum\limits_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j},\qquad (a_{ij} = a_{ji})

この時、x=[x1⋯xn]T\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{bmatrix}^{T}である。i≠ji \ne jに対するaijxixja_{ij}x_{i}x_{j}を混合項という。

説明

定義によると、A(λx)=λ2A(x)A(\lambda \mathbf{x}) = \lambda^{2} A(\mathbf{x})が成り立つ。

行列形

AAをn×nn\times n対称行列A=[aij]A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}とする。行列AAに対する二次形式を、Quadraticの頭文字を取って、QA(x)Q_{A}(\mathbf{x})と表記し、AAに関連する二次形式と呼ぶ。

QA(x)=xTAx=[x1⋯xn][a11⋯a1n⋮⋱⋮an1⋯ann][x1⋮xn]=∑i=1n∑j=1naijxixj Q_{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} =\begin{bmatrix} x_{1} & \cdots &x_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}=\sum \limits _{i=1} ^{n}\sum \limits _{j=1} ^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}

例えば、R2\mathbb{R}^{2}上の二次形式は以下の通り。

a11 x12+a22 x22+a12 x1 x2 +a21 x2 x1 = a11 x12+a22 x22+2a12 x1 x2  \begin{align*} & a_{11}^{\ }x_{1}^{2} + a_{22}^{\ }x_{2}^{2} + a_{12}^{\ }x_{1}^{\ }x_{2}^{\ } + a_{21}^{\ }x_{2}^{\ }x_{1}^{\ } \\ =&\ a_{11}^{\ }x_{1}^{2} + a_{22}^{\ }x_{2}^{2} + 2a_{12}^{\ }x_{1}^{\ }x_{2}^{\ } \end{align*}

R3\mathbb{R}^{3}上の二次形式は以下の通り。

a11 x12+a22 x22+a33 x32+2a12 x1 x2 +2a13 x1 x3 +2a23 x2 x3  a_{11}^{\ }x_{1}^{2} + a_{22}^{\ }x_{2}^{2} + a_{33}^{\ }x_{3}^{2} + 2a_{12}^{\ }x_{1}^{\ }x_{2}^{\ } + 2a_{13}^{\ }x_{1}^{\ }x_{3}^{\ } + 2a_{23}^{\ }x_{2}^{\ }x_{3}^{\ }

繰り返しを避けるために、混合項を上記のように組み合わせて記述することが一般的である。二次形式は行列の内積の性質によって以下のように表すことができる。実数、複素数に対してそれぞれ以下のようだ。

QA(x)=xTAx=x⋅Ax=Ax⋅x=<Ax,x>=<x,Ax>QA(x)=x∗Ax=x⋅Ax=Ax⋅x=<Ax,x>=<x,Ax> \begin{align*} Q_{A}(\mathbf{x}) &= \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot A\mathbf{x} = A\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = \left< A\mathbf{x}, \mathbf{x}\right> = \left< \mathbf{x}, A \mathbf{x} \right> \\ Q_{A}(\mathbf{x}) &= \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot A\mathbf{x} = A\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = \left< A\mathbf{x}, \mathbf{x}\right> = \left< \mathbf{x}, A \mathbf{x} \right> \end{align*}

AAが対角行列の場合、aij=0(i≠j)a_{ij}=0 (i \ne j)が成り立つため、二次形式QA(x)Q_{A}(\mathbf{x})は混合項を持たない。

QA(x)=xTAx=[x1⋯xn][a110⋯00a22⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯ann][x1⋮xn]=∑i=1naiixi2 Q_{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} =\begin{bmatrix} x_{1} & \cdots &x_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}=\sum \limits _{i=1}^{n} a_{ii}x_{i}^{2}

関連項目