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エゴロフの定理 📂測度論

エゴロフの定理

定理1 2

(X,E,μ)(X, \mathcal{E}, \mu)μ(X)<\mu (X) \lt \inftyという測度空間としよう。ffを可測関数、{fn}\left\{ f_{n} \right\}ほぼどこでもffに収束する可測関数列とする。

fnf a.e.  f_{n} \to f \text{ a.e. }

すると、すべてのϵ>0\epsilon \gt 0に対して、以下を満たすEXE \subset Xが存在する

μ(E)<ϵ and fnf on Ec \mu (E) \lt \epsilon \quad \text{ and } \quad f_{n} \rightrightarrows f \text{ on } E^{c}

説明

この定理は、端的に言えば、可測関数に関しては、点収束一様収束がほぼ同じであることを言っている。

定理で述べられているような収束をほぼ一様収束ともいう。以下が成立するとき、fnf_{n}ffにほぼ一様に収束すると言う。

ϵ>0,EE such that μ(E)<ϵ and fnf on Ec \forall \epsilon \gt 0,\quad \exists E \subset \mathcal{E} \text{ such that } \mu (E) \lt \epsilon \text{ and } f_{n} \rightrightarrows f \text{ on } E^{c}

以下の事実が成立する。ほぼ一様に収束すると、

証明

一般性を失わずに、すべてのxXx \in Xに対してfnff_{n} \to fと仮定しよう。k,nNk, n \in \Nに対して、En(k)E_{n}(k)を次のように置こう。

En(k)=m=n{x:fm(x)f(x)1k}(1) E_{n}(k) = \bigcup \limits_{m = n}^{\infty} \left\{ x : \left| f_{m}(x) - f(x) \right| \ge \frac{1}{k} \right\} \tag{1}

すると、固定されたkkに対してEn+1(k)En(k)E_{n+1}(k) \subset E_{n}(k)を満たしfnff_{n} \to fであるため、以下が成立する。

n=1En(k)= \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} E_{n}(k) = \varnothing

μ(X)<\mu (X) \lt \inftyと仮定されているため、μ(En(k))0 as n\mu (E_{n}(k)) \to 0 \text{ as } n \to \inftyとなる。それゆえ、与えられたϵ>0\epsilon \gt 0kNk \in \Nに対して、μ(Enk(k))<ϵ2k\mu \left( E_{n_{k}}(k) \right) \lt \epsilon 2^{-k}となる十分に大きなnkn_{k}を一つ選ぼう。そしてE=k=1Enk(k)E = \cup_{k=1}^{\infty} E_{n_{k}}(k)と置こう。するとμ(E)<ϵ\mu (E) \lt \epsilonである。

また、xEx \notin Eであれば、すべてのkkに対してxEnk(k)x \notin E_{n_{k}}(k)であり、定義(1)(1)により、以下が成立する。

fn(x)f(x)<1k for n>nk \left| f_{n}(x) - f(x) \right| \lt \frac{1}{k} \text{ for } n \gt n_{k}

したがって、fnf on Ecf_{n} \rightrightarrows f \text{ on } E^{c}である。


  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p62 ↩︎

  2. Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995), p74 ↩︎