エゴロフの定理
📂測度論エゴロフの定理
定理
(X,E,μ)をμ(X)<∞という測度空間としよう。fを可測関数、{fn}をほぼどこでもfに収束する可測関数列とする。
fn→f a.e.
すると、すべてのϵ>0に対して、以下を満たすE⊂Xが存在する
μ(E)<ϵ and fn⇉f on Ec
説明
この定理は、端的に言えば、可測関数に関しては、点収束と一様収束がほぼ同じであることを言っている。
定理で述べられているような収束をほぼ一様収束ともいう。以下が成立するとき、fnがfにほぼ一様に収束すると言う。
∀ϵ>0,∃E⊂E such that μ(E)<ϵ and fn⇉f on Ec
以下の事実が成立する。ほぼ一様に収束すると、
証明
一般性を失わずに、すべてのx∈Xに対してfn→fと仮定しよう。k,n∈Nに対して、En(k)を次のように置こう。
En(k)=m=n⋃∞{x:∣fm(x)−f(x)∣≥k1}(1)
すると、固定されたkに対してEn+1(k)⊂En(k)を満たしfn→fであるため、以下が成立する。
n=1⋂∞En(k)=∅
μ(X)<∞と仮定されているため、μ(En(k))→0 as n→∞となる。それゆえ、与えられたϵ>0とk∈Nに対して、μ(Enk(k))<ϵ2−kとなる十分に大きなnkを一つ選ぼう。そしてE=∪k=1∞Enk(k)と置こう。するとμ(E)<ϵである。
また、x∈/Eであれば、すべてのkに対してx∈/Enk(k)であり、定義(1)により、以下が成立する。
∣fn(x)−f(x)∣<k1 for n>nk
したがって、fn⇉f on Ecである。
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