📂レンマ

対数関数に関する不等式 1-1/x < log x < x-1

定理

底が$e$の対数関数について、次の不等式が成立する。

$$1 - \dfrac{1}{x} \le \ln x \le x - 1\qquad \text{ for } x \gt 0$$

証明¹

Part 1. $\ln x \le x - 1$

$f(x) = x - 1 - \ln x$と置く。これを微分すると、$f^{\prime}(x) = 1 - \dfrac{1}{x}$ $(x>0)$だ。

• $0 \lt x \lt 1$のところでは$f^{\prime} \lt 0$
• $x = 1$であれば$f^{\prime} = 0$
• $x \gt 1$のところでは$f^{\prime} \gt 0$

$f^{\prime}(1) = 0$であるから、$f$は$1$で最小値$0$をとる。したがって、

$$0 \le f(x) \implies 0 \le x - 1 - \ln x \implies \ln x \le x - 1 \qquad \text{ for } x > 0$$

Part 2. $1 - \dfrac{1}{x} \le \ln x$

再び$f(x) = \ln x - 1 + \dfrac{1}{x}$と置く。これを微分すると、$f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^{2}} = \dfrac{1}{x}\left( 1 - \dfrac{1}{x} \right)$ $(x > 0)$だ。

• $0 \lt x \lt 1$のところでは$f^{\prime} \lt 0$
• $x = 1$であれば$f^{\prime} = 0$
• $x \gt 1$のところでは$f^{\prime} \gt 0$

$f^{\prime}(1) = 0$であるから、$f$は$1$で最小値$0$をとる。したがって、

$$0 \le f(x) \implies 0 \le \ln x - 1 + \dfrac{1}{x} \implies 1 - \dfrac{1}{x} \le \ln x \qquad \text{ for } x > 0$$

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