📂抽象代数

特殊ユニタリ群

定義

行列式が$1$の$n \times n$ユニタリ行列の集合を$\mathrm{SU}(n)$と記し、$n$次の特殊ユニタリ群^{special unitary group of degree $n$}という。

$$ \mathrm{SU}(n) := \left\{ n \times n \text{ unitary matrix} \right\} = {\left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{C}) : A A^{\ast} = I \right\}} $$

ここで、$A^{\ast}$は共役転置行列である。

説明

ユニタリ行列だけからなるため、行列の乗算に関して群になる。一般線形群$\mathrm{GL}(n, \mathbb{C})$の部分群である。

$$ \mathrm{SU}(n) \subset \mathrm{U}(n) \subset \mathrm{GL}(n, \mathbb{C}) $$

微分可能な構造を持っているため、リー群である。