パウリ・ゲート

定義¹

以下のように定義される$1$キュービットのゲート$X, Y, Z$をパウリゲート^{Pauli gate}と呼ぶ。

$$ X, Y, Z : \mathbb{C}^{2} \to \mathbb{C}^{2} $$

$$ \begin{array}{l} X \ket{0} = \ket{1} \\ X \ket{1} = \ket{0} \end{array} \qquad \begin{array}{l} Y \ket{0} = -\ket{1} \\ Y \ket{1} = \ket{0} \end{array} \qquad \begin{array}{l} Z \ket{0} = \ket{0} \\ Z \ket{1} = -\ket{1} \end{array} $$

行列表現はそれぞれ以下の通りだ。

$$ X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \qquad Y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \qquad Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$

説明

各行列表現はパウリ行列と同じだ。

パウリ$X$ゲートは$\ket{0}$を$\ket{1}$に、そして$\ket{1}$を$\ket{0}$に変える点で、$\text{NOT}$ゲートの量子バージョンと見ることができる。また、重ね合わせ状態のキュービット$\alpha_{0}\ket{0} + \alpha_{1}\ket{1}$については、$\ket{0}$と$\ket{1}$に測定される確率を入れ替える作用を行う。