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線形変換のテンソル積

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ビルドアップ¹

有限次元のベクトル空間$V_{1}, V_{2}, W_{1}, W_{2}$と線形変換$\phi_{1} : V_{1} \to W_{1}$、$\phi_{2} : V_{2} \to W_{2}$が与えられたとする。そうすると、以下のような双線形変換を考えることができる。

$$ V_{1} \times V_{2} \to W_{1} \otimes W_{2} $$

$$ (v_{1}, v_{2}) \mapsto \phi_{1}(v_{1}) \otimes \phi_{2}(v_{2}) $$

$\phi_{1}, \phi_{2}$が線形変換であり、この関数が双線形であることは、積ベクトルの定義によって容易にわかる。

$$ \begin{align*} \phi_{1}(\alpha v_{1} + \beta v_{1}^{\prime}) \otimes \phi_{2}(v_{2}) &= \big( \alpha \phi_{1}(v_{1}) + \beta \phi_{1}(v_{1}^{\prime}) \big) \otimes \phi_{2}(v_{2}) \\ &= \alpha \phi_{1}(v_{1}) \otimes \phi_{2}(v_{2}) + \beta \phi_{1}(v_{1}^{\prime}) \otimes \phi_{2}(v_{2}) \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \phi_{1}(v_{1}) \otimes \phi_{2}(\alpha w_{1} + \beta w_{1}^{\prime}) &= \phi_{1}(v_{1}) \otimes \big( \alpha \phi_{2}(w_{1}) + \beta \phi_{2}(w_{1}^{\prime}) \big) \\ &= \alpha \phi_{1}(v_{1}) \otimes \phi_{2}(w_{1}) + \beta \phi_{1}(v_{1}) \otimes \phi_{2}(w_{1}^{\prime}) \end{align*} $$

テンソル積の普遍性質

ベクトル空間$V_{1}, \dots, V_{r}$、$W$に対して、次のような多重線形変換$\phi$が与えられたとする。 $$ \phi : V_{1} \times \cdots \times V_{r} \to W $$ そうすると、次を満たす線形変換$\psi$が一意に存在する。 $$ \psi : V_{1} \otimes \cdots \otimes V_{r} \to W $$ $$ \phi (v_{1}, \dots, v_{r}) = \psi (v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{r}),\quad \forall v_{i} \in V_{i}, \forall i $$

そうすると、上の定理に従って、一意の線形変換$V_{1} \otimes V_{2} \to W_{1} \otimes W_{2}$が存在する。

定義

2つの線形変換$\phi_{1} : V_{1} \to W_{1}$、$\phi_{2} : V_{2} \to W_{2}$のテンソル積^{tensor product of two linear transformations}$\phi_{1} \otimes \phi_{2}$を次のように定義する。

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \phi_{1} \otimes \phi_{2} : V_{1} \otimes V_{2} &\to W_{1} \otimes W_{2} \\ (v_{1} \otimes v_{2}) &\mapsto \phi_{1}(v_{1}) \otimes \phi_{2}(v_{2}),\quad \forall v_{1} \in V_{1}, \forall v_{2} \in V_{2} \end{aligned} \end{equation} $$

$$ (\phi_{1} \otimes \phi_{2})(v_{1} \otimes v_{2}) = \phi_{1}(v_{1}) \otimes \phi_{2}(v_{2}) $$

一般化

$1 \le i \le n$に対して、線形変換$\phi_{i} : V_{i} \to W_{i}$たちのテンソル積とは、次を満たす一意の線形変換である。

$$ \phi_{1} \otimes \cdots \otimes \phi_{n} : V_{1} \otimes \cdots \otimes V_{n} \to W_{1} \otimes \cdots \otimes W_{n} $$

$$ (\phi_{1} \otimes \cdots \otimes \phi_{n}) (v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}) = \phi_{1}(v_{1}) \otimes \cdots \otimes \phi_{n}(v_{n}), \forall\quad v_{i} \in V_{i} $$

性質

線形作用素$\phi_{1}, \phi_{2} : V \to V$と$\psi_{1}, \psi_{2} : W \to W$に対して、二つのテンソル積$(\phi_{1} \otimes \psi_{1})$、$(\phi_{2} \otimes \psi_{2})$の合成は次のようになる。

$$ (\phi_{1} \otimes \psi_{1}) \circ (\phi_{2} \otimes \psi_{2}) = (\phi_{1} \circ \phi_{2}) \otimes (\psi_{1} \circ \psi_{2}) $$

一般化

$$ \begin{align*} &\phi_{1} \otimes \cdots \otimes (\alpha \phi_{k} + \beta \psi_{k}) \otimes \cdots \otimes \phi_{n} \\ &= \alpha (\phi_{1} \otimes \cdots \otimes \phi_{k} \otimes \cdots \otimes \phi_{n}) + \beta (\phi_{1} \otimes \cdots \otimes \psi_{k} \otimes \cdots \otimes \phi_{n})\end{align*} $$

$$ (\phi_{1} \otimes \cdots \otimes \phi_{n}) \circ (\psi_{1} \otimes \cdots \otimes \psi_{n}) = (\phi_{1} \circ \psi_{1}) \otimes \cdots \otimes (\phi_{n} \circ \psi_{n}) $$

証明

線形性

定義$(1)$と積ベクトルの定義を使えば容易に示せる。$\phi : V \to V^{\prime}$、$\psi_{1}, \psi_{2} : W \to W^{\prime}$、そして$v \in V, w \in W$について、

$$ \begin{align*} \left[ \phi \otimes (\alpha \psi_{1} + \beta \psi_{2}) \right] (v \otimes w) &= \phi (v) \otimes \left[(\alpha \psi_{1} + \beta \psi_{2})(w)\right] \\ &= \phi (v) \otimes \left[\alpha \psi_{1}(w) + \beta \psi_{2}(w)\right] \\ &= \alpha [\phi (v) \otimes \psi_{1}(w)] + \beta [\phi (v) \otimes \psi_{2}(w)] \\ &= [\alpha (\phi \otimes \psi_{1})] (v \otimes w) + [\beta (\phi \otimes \psi_{2})] (v \otimes w) \\ &= \left[ \alpha (\phi \otimes \psi_{1}) + \beta (\phi \otimes \psi_{2}) \right] (v \otimes w) \\ \end{align*} $$

$$ \implies \phi \otimes (\alpha \psi_{1} + \beta \psi_{2}) = \alpha (\phi \otimes \psi_{1}) + \beta (\phi \otimes \psi_{2}) $$

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合成

定義$(1)$と積ベクトルの定義を使えば容易に計算できる。$v \in V$と$w \in W$について、

$$ \begin{align*} \left[ (\phi_{2} \otimes \psi_{2}) \circ (\phi_{1} \otimes \psi_{1}) \right] (v \otimes w) &= (\phi_{2} \otimes \psi_{2}) \left[ (\phi_{1} \otimes \psi_{1}) (v \otimes w) \right] \\ &= (\phi_{2} \otimes \psi_{2}) (\phi_{1}(v) \otimes \psi_{1}(w)) \\ &= [\phi_{2} (\phi_{1}(v))] \otimes [\psi_{2}(\psi_{1}(w))] \\ &= [(\phi_{2} \circ \phi_{1})(v)] \otimes [(\psi_{2} \circ \psi_{1})(w)] \\ &= \left[ (\phi_{2} \circ \phi_{1}) \otimes (\psi_{2} \circ \psi_{1})\right] (v \otimes w) \end{align*} $$

$$ \implies (\phi_{2} \otimes \psi_{2}) \circ (\phi_{1} \otimes \psi_{1}) = (\phi_{2} \circ \phi_{1}) \otimes (\psi_{2} \circ \psi_{1}) $$

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