テンソル積の積ベクトル
ビルドアップ
- 便宜上、複素数空間$\mathbb{C}$について展開するが、$\mathbb{R}$や任意のベクトル空間でも構わない。
有限集合$\Gamma$から複素数空間への関数の集まりを$\mathbb{C}^{\Gamma}$のように記すことにする。
$$ \mathbb{C}^{\Gamma} = \left\{ f : \Gamma \to \mathbb{C} \right\} $$
$\Gamma = \mathbf{n} = \left\{ 1, \dots, n \right\}$の場合、実質的に$\mathbb{C}^{\mathbf{n}} = \mathbb{C}^{n}$になり、ベクトル空間のテンソル積は次のように定義される。
$$ \mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}} := \mathbb{C}^{\Gamma_{1} \times \Gamma_{2}} $$
$v_{i} \in \mathbb{C}^{\Gamma_{i}}$と$n_{i} = \left| \Gamma_{i} \right|$とする。$\mathbb{C}^{\Gamma_{i}}$に対応する標準基底をそれぞれ$\left\{ e_{j_{i}} \right\}_{j_{i} \in \Gamma_{i}}$とする。すると、$v_{i}$は次のように表される。
$$ \begin{align*} v_{1} &: \left\{ 1, \dots, n_{1} \right\} \to \mathbb{C} &&& v_{2} &: \left\{ 1, \dots, n_{2} \right\} \to \mathbb{C} \\ v_{1} &= (v_{1}(1), \dots, v_{1}(n_{1})) \in \mathbb{C}^{n_{1}} &&& v_{2} &= (v_{2}(1), \dots, v_{2}(n_{2})) \in \mathbb{C}^{n_{2}} \\ & = \sum \limits_{j_{1} = 1}^{n_{1}}v_{1}(j_{1}) e_{j_{1}} &&&& = \sum \limits_{j_{2} = 1}^{n_{2}}v_{2}(j_{2}) e_{j_{2}} \end{align*} $$
$v_{1} \otimes v_{2}$のように表されるテンソル積$\mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}}$の要素を$v_{1}$と$v_{2}$の積ベクターと言う。
定義
$v_{1}$と$v_{2}$の積ベクター$v_{1} \otimes v_{2}$を次のように定義する。
$$ \begin{align*} v_{1} \otimes v_{2} &= \left( \sum \limits_{j_{1} \in \Gamma_{1}}v_{1}(j_{1}) e_{j_{1}} \right) \otimes \left( \sum \limits_{j_{2} \in \Gamma_{2}}v_{2}(j_{2}) e_{j_{2}} \right) \\ &:= \sum\limits_{(j_{1}, j_{2}) \in \Gamma_{1} \times \Gamma_{2}} \left( \prod\limits_{i=1}^{2} v_{i}(j_{i}) \right) e_{j_{1}} \otimes e_{j_{2}} \end{align*} $$
この時、$v_{1} \otimes v_{2}$はテンソル積の定義によって$\mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}}$の要素になる。
$$ v_{1} \otimes v_{2} := \sum\limits_{(j_{1}, j_{2}) \in \Gamma_{1} \times \Gamma_{2}} \left( \prod\limits_{i=1}^{2} v_{i}(j_{i}) \right) e_{j_{1}} \otimes e_{j_{2}} \in \mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}} $$
説明
$\mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}}$の全ての要素が$v_{1} \otimes v_{2}$のような積ベクターの形で表されるわけではない。例えば、以下のベクターは2つのベクターの積ベクターとして表現可能だが、$(e_{1} \otimes e_{1}) + (e_{2} \otimes e_{2})$は不可能である。
$$ e_{1} \otimes e_{1} - e_{1} \otimes e_{2} + e_{2} \otimes e_{1} - e_{2} \otimes e_{2} = (e_{1} + e_{2}) \otimes (e_{1} - e_{2}) $$
簡単な例として、上の定義を再び具体的に解き直してみよう。$\Gamma_{1} = \left\{ 1, 2 \right\}$、$\Gamma_{2} = \left\{ 1, 2, 3 \right\}$とする。$v_{i} \in \mathbb{C}^{\Gamma_{i}}$とする。$\mathbb{C}^{\Gamma_{1}} = \mathbb{C}^{2}$に対応する標準基底を$\left\{ e_{j_{1}} \right\}_{j_{1} \in \Gamma_{1}}$、$\mathbb{C}^{\Gamma_{2}} = \mathbb{C}^{3}$に対応する標準基底を$\left\{ e_{j_{2}} \right\}_{j_{2} \in \Gamma_{2}}$とする。すると、$v_{1}$、$v_{2}$は次のようになる。
$$ \begin{align*} v_{1} &: \left\{ 1, 2 \right\} \to \mathbb{C} &&& v_{2} &: \left\{ 1, 2, 3 \right\} \to \mathbb{C} \\ v_{1} &= (v_{1}(1), v_{1}(2)) \in \mathbb{C}^{2} &&& v_{2} &= (v_{2}(1), v_{2}(2), v_{2}(3)) \in \mathbb{C}^{3} \\ & = \sum \limits_{j_{1} = 1}^{2}v_{1}(j_{1}) e_{j_{1}} &&&& = \sum \limits_{j_{2} = 1}^{3}v_{2}(j_{2}) e_{j_{2}} \end{align*} $$
すると、$v_{1}$と$v_{2}$の積ベクターは次のようになる。
$$ \begin{align*} v_{1} \otimes v_{2} &= (v_{1}(1), v_{1}(2)) \otimes (v_{2}(1), v_{2}(2), v_{2}(3)) \\ &= \left( \sum \limits_{j_{1} = 1}^{2} v_{1}(j_{1}) e_{j_{1}} \right) \otimes \left( \sum \limits_{j_{2} = 1}^{3} v_{2}(j_{2}) e_{j_{2}} \right) \\ &:= \sum\limits_{(j_{1}, j_{2}) \in \Gamma_{1} \times \Gamma_{2}} \left( \prod\limits_{i=1}^{2} v_{i}(j_{i}) \right) e_{j_{1}} \otimes e_{j_{2}} \in \mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}} \\ &= v_{1}(1)v_{2}(1)e_{1} \otimes e_{1} + v_{1}(1)v_{2}(2)e_{1} \otimes e_{2} + v_{1}(1)v_{2}(3)e_{1} \otimes e_{3} \\ &\quad + v_{1}(2)v_{2}(1)e_{1} \otimes e_{1} + v_{1}(2)v_{2}(2)e_{1} \otimes e_{2} + v_{1}(2)v_{2}(3)e_{1} \otimes e_{3} \\ &= \left( v_{1}(1)v_{2}(1), v_{1}(1)v_{2}(2), v_{1}(1)v_{2}(3), v_{1}(2)v_{2}(1), v_{1}(2)v_{2}(2), v_{1}(2)v_{2}(3) \right) \\ &\in \mathbb{C}^{6} \cong \mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}} \end{align*} $$
$v_{1} \otimes v_{2}$の成分をよく見ると、これが行列と関連があることが推測できるだろう。
座標行列
行列空間$M_{m \times n}(\mathbb{C})$を考える。$E_{ij}$が$(i,j)$成分だけ$1$で残りが全て$0$の$m \times n$行列とするならば、$\left\{ E_{ij} \right\}$は$M_{m\times n}(\mathbb{C})$の基底になる。テンソル積$\mathbb{C}^{m} \otimes \mathbb{C}^{n}$の基底ベクター$e_{i} \otimes e_{j}$を$E_{ij}$に移す線形変換を$\phi$としよう。
$$ \begin{align*} \phi : \mathbb{C}^{m} \otimes \mathbb{C}^{n} &\to M_{m \times n} (\mathbb{C}) \\ e_{i} \otimes e_{j} &\mapsto E_{ij} \end{align*} $$
これは基底を基底に写像するので、同型写像になる。2つのベクター$v \in \mathbb{C}^{m}$、$w \in \mathbb{C}^{n}$が次のようだとする。
$$ v = \sum_{i} \alpha_{i}e_{i} = \begin{bmatrix} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{m} \end{bmatrix} \qquad w = \sum_{j} \beta_{j}e_{j} = \begin{bmatrix} \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{n} \end{bmatrix} $$
積ベクター$v, w$を$\phi$で送ると次のようになる。
$$ \begin{align*} \phi ( v \otimes w ) &= \phi \left( \sum\limits_{i,j} \alpha_{i}\beta_{j} e_{i} \otimes e_{j} \right) \\ &= \sum\limits_{i,j} \alpha_{i}\beta_{j} \phi \left( e_{i} \otimes e_{j} \right) \\ &= \sum\limits_{i,j} \alpha_{i}\beta_{j} E_{ij} \\ &= \begin{bmatrix} \alpha_{1}\beta_{1} & \cdots & \alpha_{1}\beta_{n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m}\beta_{1} & \cdots & \alpha_{m}\beta_{n} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_{1} & \cdots & \beta_{n} \end{bmatrix} \\ &= vw^{T} \end{align*} $$
これは各成分が$\alpha_{i}\beta_{j}$の行列である。したがって、$\phi$によって積ベクター$v \otimes w$は一つの$m \times n$と対応する。行列$\phi (v \otimes w) = vw^{T}$を標準基底に対する$v \otimes w$の座標行列と言う。これはベクターの座標ベクターと同じ概念と見なすことができる。
一般化
有限集合$\Gamma_{i} (1 \le i \le r)$、$\Gamma = \Gamma_{1} \times \cdots \times \Gamma_{r}$、$v_{i} \in \mathbb{C}^{\Gamma_{i}}$に対して、$v_{i}$の積ベクターを次のように定義する。
$$ \begin{align*} v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{r} &= \left( \sum \limits_{j_{1} \in \Gamma_{1}}v_{1}(j_{1}) e_{j_{1}} \right) \otimes \cdots \otimes \left( \sum \limits_{j_{r} \in \Gamma_{r}}v_{r}(j_{r}) e_{j_{r}} \right) \\ &:= \sum\limits_{(j_{1}, \dots, j_{r}) \in \Gamma} \left( \prod\limits_{i=1}^{r} v_{i}(j_{i}) \right) e_{j_{1}} \otimes \cdots \otimes e_{j_{r}} \\ &= \in \mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \cdots \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{r}} \end{align*} $$