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テンソル積の積ベクトル 📂線形代数

テンソル積の積ベクトル

ビルドアップ

有限集合Γ\Gammaから複素数空間への関数の集まりをCΓ\mathbb{C}^{\Gamma}のように記すことにする。

CΓ={f:Γ→C} \mathbb{C}^{\Gamma} = \left\{ f : \Gamma \to \mathbb{C} \right\}

Γ=n={1,…,n}\Gamma = \mathbf{n} = \left\{ 1, \dots, n \right\}の場合、実質的にCn=Cn\mathbb{C}^{\mathbf{n}} = \mathbb{C}^{n}になり、ベクトル空間のテンソル積は次のように定義される。

CΓ1⊗CΓ2:=CΓ1×Γ2 \mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}} := \mathbb{C}^{\Gamma_{1} \times \Gamma_{2}}

vi∈CΓiv_{i} \in \mathbb{C}^{\Gamma_{i}}とni=∣Γi∣n_{i} = \left| \Gamma_{i} \right|とする。CΓi\mathbb{C}^{\Gamma_{i}}に対応する標準基底をそれぞれ{eji}ji∈Γi\left\{ e_{j_{i}} \right\}_{j_{i} \in \Gamma_{i}}とする。すると、viv_{i}は次のように表される。

v1:{1,…,n1}→Cv2:{1,…,n2}→Cv1=(v1(1),…,v1(n1))∈Cn1v2=(v2(1),…,v2(n2))∈Cn2=∑j1=1n1v1(j1)ej1=∑j2=1n2v2(j2)ej2 \begin{align*} v_{1} &: \left\{ 1, \dots, n_{1} \right\} \to \mathbb{C} &&& v_{2} &: \left\{ 1, \dots, n_{2} \right\} \to \mathbb{C} \\ v_{1} &= (v_{1}(1), \dots, v_{1}(n_{1})) \in \mathbb{C}^{n_{1}} &&& v_{2} &= (v_{2}(1), \dots, v_{2}(n_{2})) \in \mathbb{C}^{n_{2}} \\ & = \sum \limits_{j_{1} = 1}^{n_{1}}v_{1}(j_{1}) e_{j_{1}} &&&& = \sum \limits_{j_{2} = 1}^{n_{2}}v_{2}(j_{2}) e_{j_{2}} \end{align*}

v1⊗v2v_{1} \otimes v_{2}のように表されるテンソル積CΓ1⊗CΓ2\mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}}の要素をv1v_{1}とv2v_{2}の積ベクターと言う。

定義

v1v_{1}とv2v_{2}の積ベクターv1⊗v2v_{1} \otimes v_{2}を次のように定義する。

v1⊗v2=(∑j1∈Γ1v1(j1)ej1)⊗(∑j2∈Γ2v2(j2)ej2):=∑(j1,j2)∈Γ1×Γ2(∏i=12vi(ji))ej1⊗ej2 \begin{align*} v_{1} \otimes v_{2} &= \left( \sum \limits_{j_{1} \in \Gamma_{1}}v_{1}(j_{1}) e_{j_{1}} \right) \otimes \left( \sum \limits_{j_{2} \in \Gamma_{2}}v_{2}(j_{2}) e_{j_{2}} \right) \\ &:= \sum\limits_{(j_{1}, j_{2}) \in \Gamma_{1} \times \Gamma_{2}} \left( \prod\limits_{i=1}^{2} v_{i}(j_{i}) \right) e_{j_{1}} \otimes e_{j_{2}} \end{align*}

この時、v1⊗v2v_{1} \otimes v_{2}はテンソル積の定義によってCΓ1⊗CΓ2\mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}}の要素になる。

v1⊗v2:=∑(j1,j2)∈Γ1×Γ2(∏i=12vi(ji))ej1⊗ej2∈CΓ1⊗CΓ2 v_{1} \otimes v_{2} := \sum\limits_{(j_{1}, j_{2}) \in \Gamma_{1} \times \Gamma_{2}} \left( \prod\limits_{i=1}^{2} v_{i}(j_{i}) \right) e_{j_{1}} \otimes e_{j_{2}} \in \mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}}

説明

CΓ1⊗CΓ2\mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}}の全ての要素がv1⊗v2v_{1} \otimes v_{2}のような積ベクターの形で表されるわけではない。例えば、以下のベクターは2つのベクターの積ベクターとして表現可能だが、(e1⊗e1)+(e2⊗e2)(e_{1} \otimes e_{1}) + (e_{2} \otimes e_{2})は不可能である。

e1⊗e1−e1⊗e2+e2⊗e1−e2⊗e2=(e1+e2)⊗(e1−e2) e_{1} \otimes e_{1} - e_{1} \otimes e_{2} + e_{2} \otimes e_{1} - e_{2} \otimes e_{2} = (e_{1} + e_{2}) \otimes (e_{1} - e_{2})

簡単な例として、上の定義を再び具体的に解き直してみよう。Γ1={1,2}\Gamma_{1} = \left\{ 1, 2 \right\}、Γ2={1,2,3}\Gamma_{2} = \left\{ 1, 2, 3 \right\}とする。vi∈CΓiv_{i} \in \mathbb{C}^{\Gamma_{i}}とする。CΓ1=C2\mathbb{C}^{\Gamma_{1}} = \mathbb{C}^{2}に対応する標準基底を{ej1}j1∈Γ1\left\{ e_{j_{1}} \right\}_{j_{1} \in \Gamma_{1}}、CΓ2=C3\mathbb{C}^{\Gamma_{2}} = \mathbb{C}^{3}に対応する標準基底を{ej2}j2∈Γ2\left\{ e_{j_{2}} \right\}_{j_{2} \in \Gamma_{2}}とする。すると、v1v_{1}、v2v_{2}は次のようになる。

v1:{1,2}→Cv2:{1,2,3}→Cv1=(v1(1),v1(2))∈C2v2=(v2(1),v2(2),v2(3))∈C3=∑j1=12v1(j1)ej1=∑j2=13v2(j2)ej2 \begin{align*} v_{1} &: \left\{ 1, 2 \right\} \to \mathbb{C} &&& v_{2} &: \left\{ 1, 2, 3 \right\} \to \mathbb{C} \\ v_{1} &= (v_{1}(1), v_{1}(2)) \in \mathbb{C}^{2} &&& v_{2} &= (v_{2}(1), v_{2}(2), v_{2}(3)) \in \mathbb{C}^{3} \\ & = \sum \limits_{j_{1} = 1}^{2}v_{1}(j_{1}) e_{j_{1}} &&&& = \sum \limits_{j_{2} = 1}^{3}v_{2}(j_{2}) e_{j_{2}} \end{align*}

すると、v1v_{1}とv2v_{2}の積ベクターは次のようになる。

v1⊗v2=(v1(1),v1(2))⊗(v2(1),v2(2),v2(3))=(∑j1=12v1(j1)ej1)⊗(∑j2=13v2(j2)ej2):=∑(j1,j2)∈Γ1×Γ2(∏i=12vi(ji))ej1⊗ej2∈CΓ1⊗CΓ2=v1(1)v2(1)e1⊗e1+v1(1)v2(2)e1⊗e2+v1(1)v2(3)e1⊗e3+v1(2)v2(1)e1⊗e1+v1(2)v2(2)e1⊗e2+v1(2)v2(3)e1⊗e3=(v1(1)v2(1),v1(1)v2(2),v1(1)v2(3),v1(2)v2(1),v1(2)v2(2),v1(2)v2(3))∈C6≅CΓ1⊗CΓ2 \begin{align*} v_{1} \otimes v_{2} &= (v_{1}(1), v_{1}(2)) \otimes (v_{2}(1), v_{2}(2), v_{2}(3)) \\ &= \left( \sum \limits_{j_{1} = 1}^{2} v_{1}(j_{1}) e_{j_{1}} \right) \otimes \left( \sum \limits_{j_{2} = 1}^{3} v_{2}(j_{2}) e_{j_{2}} \right) \\ &:= \sum\limits_{(j_{1}, j_{2}) \in \Gamma_{1} \times \Gamma_{2}} \left( \prod\limits_{i=1}^{2} v_{i}(j_{i}) \right) e_{j_{1}} \otimes e_{j_{2}} \in \mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}} \\ &= v_{1}(1)v_{2}(1)e_{1} \otimes e_{1} + v_{1}(1)v_{2}(2)e_{1} \otimes e_{2} + v_{1}(1)v_{2}(3)e_{1} \otimes e_{3} \\ &\quad + v_{1}(2)v_{2}(1)e_{1} \otimes e_{1} + v_{1}(2)v_{2}(2)e_{1} \otimes e_{2} + v_{1}(2)v_{2}(3)e_{1} \otimes e_{3} \\ &= \left( v_{1}(1)v_{2}(1), v_{1}(1)v_{2}(2), v_{1}(1)v_{2}(3), v_{1}(2)v_{2}(1), v_{1}(2)v_{2}(2), v_{1}(2)v_{2}(3) \right) \\ &\in \mathbb{C}^{6} \cong \mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}} \end{align*}

v1⊗v2v_{1} \otimes v_{2}の成分をよく見ると、これが行列と関連があることが推測できるだろう。

座標行列

行列空間Mm×n(C)M_{m \times n}(\mathbb{C})を考える。EijE_{ij}が(i,j)(i,j)成分だけ11で残りが全て00のm×nm \times n行列とするならば、{Eij}\left\{ E_{ij} \right\}はMm×n(C)M_{m\times n}(\mathbb{C})の基底になる。テンソル積Cm⊗Cn\mathbb{C}^{m} \otimes \mathbb{C}^{n}の基底ベクターei⊗eje_{i} \otimes e_{j}をEijE_{ij}に移す線形変換をϕ\phiとしよう。

ϕ:Cm⊗Cn→Mm×n(C)ei⊗ej↦Eij \begin{align*} \phi : \mathbb{C}^{m} \otimes \mathbb{C}^{n} &\to M_{m \times n} (\mathbb{C}) \\ e_{i} \otimes e_{j} &\mapsto E_{ij} \end{align*}

これは基底を基底に写像するので、同型写像になる。2つのベクターv∈Cmv \in \mathbb{C}^{m}、w∈Cnw \in \mathbb{C}^{n}が次のようだとする。

v=∑iαiei=[α1⋮αm]w=∑jβjej=[β1⋮βn] v = \sum_{i} \alpha_{i}e_{i} = \begin{bmatrix} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{m} \end{bmatrix} \qquad w = \sum_{j} \beta_{j}e_{j} = \begin{bmatrix} \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{n} \end{bmatrix}

積ベクターv,wv, wをϕ\phiで送ると次のようになる。

ϕ(v⊗w)=ϕ(∑i,jαiβjei⊗ej)=∑i,jαiβjϕ(ei⊗ej)=∑i,jαiβjEij=[α1β1⋯α1βn⋮⋱⋮αmβ1⋯αmβn]=[α1⋮αm][β1⋯βn]=vwT \begin{align*} \phi ( v \otimes w ) &= \phi \left( \sum\limits_{i,j} \alpha_{i}\beta_{j} e_{i} \otimes e_{j} \right) \\ &= \sum\limits_{i,j} \alpha_{i}\beta_{j} \phi \left( e_{i} \otimes e_{j} \right) \\ &= \sum\limits_{i,j} \alpha_{i}\beta_{j} E_{ij} \\ &= \begin{bmatrix} \alpha_{1}\beta_{1} & \cdots & \alpha_{1}\beta_{n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m}\beta_{1} & \cdots & \alpha_{m}\beta_{n} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_{1} & \cdots & \beta_{n} \end{bmatrix} \\ &= vw^{T} \end{align*}

これは各成分がαiβj\alpha_{i}\beta_{j}の行列である。したがって、ϕ\phiによって積ベクターv⊗wv \otimes wは一つのm×nm \times nと対応する。行列ϕ(v⊗w)=vwT\phi (v \otimes w) = vw^{T}を標準基底に対するv⊗wv \otimes wの座標行列と言う。これはベクターの座標ベクターと同じ概念と見なすことができる。

一般化

有限集合Γi(1≤i≤r)\Gamma_{i} (1 \le i \le r)、Γ=Γ1×⋯×Γr\Gamma = \Gamma_{1} \times \cdots \times \Gamma_{r}、vi∈CΓiv_{i} \in \mathbb{C}^{\Gamma_{i}}に対して、viv_{i}の積ベクターを次のように定義する。

v1⊗⋯⊗vr=(∑j1∈Γ1v1(j1)ej1)⊗⋯⊗(∑jr∈Γrvr(jr)ejr):=∑(j1,…,jr)∈Γ(∏i=1rvi(ji))ej1⊗⋯⊗ejr=∈CΓ1⊗⋯⊗CΓr \begin{align*} v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{r} &= \left( \sum \limits_{j_{1} \in \Gamma_{1}}v_{1}(j_{1}) e_{j_{1}} \right) \otimes \cdots \otimes \left( \sum \limits_{j_{r} \in \Gamma_{r}}v_{r}(j_{r}) e_{j_{r}} \right) \\ &:= \sum\limits_{(j_{1}, \dots, j_{r}) \in \Gamma} \left( \prod\limits_{i=1}^{r} v_{i}(j_{i}) \right) e_{j_{1}} \otimes \cdots \otimes e_{j_{r}} \\ &= \in \mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \cdots \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{r}} \end{align*}

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