📂関数

凸関数の様々な性質

定理¹

1. 全ての凸関数は連続である。

2. $f$が増加する凸関数であり、$g$が凸関数であるならば、$f \circ g$も凸関数である。

3. $f$が$(a, b)$で凸であり、$a \lt s \lt t \lt u \lt b$であるならば、 $$ \dfrac{f(t) - f(s)}{t-s} \le \dfrac{ f(u) - f(s) }{ u - s } \le \dfrac{ f(u) - f(t) }{ u - t } $$

4. $f$が次を満たす$(a, b)$で定義された連続関数であるならば、凸関数である。 $$ f \left( \dfrac{ x + y }{ 2 } \right) \le \dfrac{ f(x) + f(y) }{ 2 },\quad x,y \in (a,b) $$

5. $f=F^{\prime}$を増加関数とする。すると$F$は凸である。

証明

5.²

$a\le x \le y \le b$としよう。

$$ \begin{align*} F(y) - F(\frac{ x + y }{ 2 }) &= \int_{\frac{ x + y }{ 2 }}^{y} f(t) dt \\ F(\frac{ x + y }{ 2 }) - F(x) &= \int_{x}^{\frac{ x + y }{ 2 }} f(t) dt \end{align*} $$

$f$が増加関数であるため、

$$ \int_{x}^{\frac{ x + y }{ 2 }} f(t) dt \le \int_{\frac{ x + y }{ 2 }}^{y} f(t) dt \ge $$

$$ \implies F(\frac{ x + y }{ 2 }) - F(x) \le F(y) - F(\frac{ x + y }{ 2 }) $$

$$ 2 \implies F(\frac{ x + y }{ 2 }) \le F(y) + F(x) $$

$$ \implies F(\frac{ x + y }{ 2 }) \le \dfrac{ F(y) + F(x) }{ 2 } $$

4.によって、$F$は凸である。

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