位置に依存する質量:チェーンで繋がれたボールの運動
📂古典力学位置に依存する質量:チェーンで繋がれたボールの運動
概要
チェーンがついた球が垂直方向に動く場合を考えてみよう。チェーンが十分に長く球が上下に動いて空中に浮かんでいるチェーンの長さが絶えず変わるとしよう。そうすると、球の位置に応じて物体全体の質量が変わることになる。つまり、物体の質量が位置に依存することになる。この運動について分析する。
チェーンがつながった球の運動

質量がmの球が上図のようにチェーンにつながっているとしよう。チェーン一つの長さは1、質量はρとしよう。問題を簡単に考えるために、チェーンは体積がなく(重なっていなくて)端と端がつながっている状態だとしよう。そうするとこの物体「チェーンがつながった球」の質量は位置に依存する関数になる。xを地面から球の底(球とチェーンの接続点)までの距離とすると、チェーンがつながった球の質量はM(x)=m+ρxになる。そうするとこの物体の運動方程式は以下のようになる。
dtdp=F⟹dtd[(m+ρx)x˙]=−mg
上の式を不定積分すると、以下を得る。
mx˙+ρxx˙=−mgt+C1
一方、上記の式の左辺を変えて積分すると、以下を得る。
dtd[mx+2ρx2]=−mgt+C1
⟹mx+2ρx2=−2mgt2+C1t+C2
初期条件をx(0)=x0、x˙(0)=v0とすると、(1)、(2)により、2つの定数は以下のようになる。
mv0+ρx0v0=C1⟹C1=(m+ρx0)v0
mx0+2ρx02=C2⟹C2=(m+2ρx0)x0
最高高度に到達する時間をt∗としよう。そうすると、x˙(t∗)=0であるため、(2)により、
t∗=mgC1=mgm+ρx0v0
また、最高高度をx(t∗)=x∗としよう。(3)にt∗を代入すると、
mx∗+2ρx∗2=−2mg(m+ρx0)2v02+mg(m+ρx0)2v02+(m+2ρx0)x0
これをx∗に関する2次式で整理すると、
x∗2+ρ2mx∗−[mgρ(m+ρx0)2v02+(ρ2m+x0)x0]=0
位置の初期値を地面x0=0とすると、
x∗2+ρ2mx∗−gρmv02=0
根の公式でx∗の値を計算すると、x∗<0の場合を除いて、以下のようになる。
x∗=−ρm+21ρ4m(ρm+gv02)
質量が一定の球の垂直運動の場合、最高高度がx∗=2gv02であることに比べて、かなり複雑に表される。
参照