📂線形代数

線形変換の基底変換（座標変換）

概要¹

$V$を$n$次元のベクトル空間、$\mathbf{v} \in V$とする。$\beta, \beta^{\prime}$を$V$の順序基底とする。すると$\mathbf{v}$の二つの座標$[\mathbf{v}]_{\beta}$と$[\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}$は、座標変換行列$Q$によって次のように変換される。

$$[\mathbf{v}]_{\beta} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}$$

今、線形変換$T : V \to V$が与えられたとする。すると、それぞれの順序基底に対して、行列表現$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$と$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}$が存在する。$V$のベクトル$\mathbf{v}$の座標が$Q$によって変換されるように、この二つの行列も$Q$によって変換される。

定理

$\beta, \beta^{\prime}$を$n$次元ベクトル空間$V$の順序基底、$T : V \to V$を線形変換とする。$Q = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}$を$\beta^{\prime}$座標を$\beta$座標に変換する座標変換行列とする。すると、次が成り立つ。

$$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} = Q^{-1} \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} Q$$

説明

このような関係の二つの行列$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}$と$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}$を相似という。

証明

補題

$V, W, Z$を有限次元ベクトル空間、$\alpha, \beta, \gamma$をそれぞれの順序基底とする。そして、$T : V \to W$と$U : W \to Z$を線形変換とする。すると、

$$[UT]_{\alpha}^{\gamma} = [U]_{\beta}^{\gamma}[T]_{\alpha}^{\beta}$$

補題により、

$$Q\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} IT \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} = \begin{bmatrix} TI \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}^{\beta} \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}Q$$

[$Q$は可逆]なので

$$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} = Q^{-1} \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} Q$$

■