線形変換の基底変換(座標変換)
概要1
$V$を$n$次元のベクトル空間、$\mathbf{v} \in V$とする。$\beta, \beta^{\prime}$を$V$の順序基底とする。すると$\mathbf{v}$の二つの座標$[\mathbf{v}]_{\beta}$と$[\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}$は、座標変換行列$Q$によって次のように変換される。
$$ [\mathbf{v}]_{\beta} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} $$
今、線形変換$T : V \to V$が与えられたとする。すると、それぞれの順序基底に対して、行列表現$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$と$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}$が存在する。$V$のベクトル$\mathbf{v}$の座標が$Q$によって変換されるように、この二つの行列も$Q$によって変換される。
定理
$\beta, \beta^{\prime}$を$n$次元ベクトル空間$V$の順序基底、$T : V \to V$を線形変換とする。$Q = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}$を$\beta^{\prime}$座標を$\beta$座標に変換する座標変換行列とする。すると、次が成り立つ。
$$ \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} = Q^{-1} \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} Q $$
説明
このような関係の二つの行列$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}$と$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}$を相似という。
証明
$V, W, Z$を有限次元ベクトル空間、$\alpha, \beta, \gamma$をそれぞれの順序基底とする。そして、$T : V \to W$と$U : W \to Z$を線形変換とする。すると、
$$ [UT]_{\alpha}^{\gamma} = [U]_{\beta}^{\gamma}[T]_{\alpha}^{\beta} $$
補題により、
$$ Q\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} IT \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} = \begin{bmatrix} TI \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}^{\beta} \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}Q $$
[$Q$は可逆]なので
$$ \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} = Q^{-1} \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} Q $$
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Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p112-113 ↩︎