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リーマン曲率テンソルの座標系表現 📂幾何学

リーマン曲率テンソルの座標系表現

説明1

リーマン多様体 (M,g)(M, g)が与えられたとしよう。ppでの座標系を(U,x)(U, \mathbf{x})としよう。そして接ベクトルを次のように表記しよう。

∂∂xi=denoteXi \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \overset{\text{denote}}{=} X_{i}

今、R(Xi,Xj)XkR(X_{i}, X_{j})X_{k}を考えてみよう。リーマン曲率テンソル RRの定義により、これもまた一つのベクトル場である。したがって、次のように表現できる。

R(Xi,Xj)Xk=∑lRijklXl R(X_{i}, X_{j})X_{k} = \sum_{l}R_{ijk}^{l}X_{l}

上のベクトルの係数はXi,Xj,XkX_{i}, X_{j}, X_{k}によって決定されるのでRijklR_{ijk}^{l}と表記する。今、ベクトル場X,Y,ZX, Y, Zが次のようであるとしよう。

X=∑uiXi,Y=∑vjXj,Z=∑wkXk X = \sum u^{i}X_{i},\quad Y = \sum v^{j}X_{j},\quad Z = \sum w^{k}X_{k}

すると、RRの線形性によって次を得る。

R(X,Y)Z=∑i,j,k,lRijkluivjwkXl R(X, Y)Z = \sum_{i, j, k, l}R_{ijk}^{l}u^{i}v^{j}w^{k}X_{l}

RijklR_{ijk}^{l}をクリストッフェル記号Γijk\Gamma_{ij}^{k}で表すためにR(Xi,Xj)XkR(X_{i}, X_{j})X_{k}を再度見よう。[Xi,Xj]=0[X_{i}, X_{j}] = 0であり、定義により∇XiXj=ΓijkXk\nabla_{X_{i}}X_{j} = \Gamma_{ij}^{k}X_{k}だから、

R(Xi,Xj)Xk=∇Xj∇XiXk−∇Xi∇XjXk=∇Xj(∑lΓiklXl)−∇Xi(∑lΓjklXl)=∑lΓikl∇XjXl+∑l∂Γikl∂xjXl−∑lΓjkl∇XiXl−∑l∂Γjkl∂xiXl=∑lΓikl∑sΓjlsXs−∑lΓjkl∑sΓilsXs+∑l∂Γikl∂xjXl−∑l∂Γjkl∂xiXl=∑s∑l(ΓiklΓjls−ΓjklΓils)Xs+∑l∂Γikl∂xjXl−∑l∂Γjkl∂xiXl=∑s∑l(ΓiklΓjls−ΓjklΓils)Xs+∑s∂Γiks∂xjXs−∑s∂Γjks∂xiXs=∑s(∑lΓiklΓjls−∑lΓjklΓils+∂Γiks∂xj−∂Γjks∂xi)Xs=∑sRijksXs \begin{align*} R(X_{i}, X_{j})X_{k} &= \nabla_{X_{j}}\nabla_{X_{i}}X_{k} - \nabla_{X_{i}}\nabla_{X_{j}}X_{k} \\ &= \nabla_{X_{j}}\left( \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l}X_{l} \right) - \nabla_{X_{i}}\left( \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l}X_{l} \right) \\ &= \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l} \nabla_{X_{j}} X_{l} + \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial x_{j}}X_{l} - \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l}\nabla_{X_{i}}X_{l} - \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{l}}{\partial x_{i}}X_{l}\\ &= \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l} \sum_{s}\Gamma_{jl}^{s}X_{s} - \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l} \sum_{s} \Gamma_{il}^{s}X_{s} + \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial x_{j}}X_{l} - \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{l}}{\partial x_{i}}X_{l} \\ &= \sum_{s} \sum_{l} \left( \Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{jl}^{s} - \Gamma_{jk}^{l} \Gamma_{il}^{s} \right)X_{s} + \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial x_{j}}X_{l} - \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{l}}{\partial x_{i}}X_{l} \\ &= \sum_{s} \sum_{l} \left( \Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{jl}^{s} - \Gamma_{jk}^{l} \Gamma_{il}^{s} \right)X_{s} + \sum_{s}\dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{s}}{\partial x_{j}}X_{s} - \sum_{s}\dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{s}}{\partial x_{i}}X_{s} \\ &= \sum_{s} \left( \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{jl}^{s} - \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l} \Gamma_{il}^{s} + \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{s}}{\partial x_{j}} - \dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{s}}{\partial x_{i}} \right)X_{s} \\ &= \sum_{s} R_{ijk}^{s}X_{s} \\ \end{align*}

したがって、

Rijks=∑lΓiklΓjls−∑lΓjklΓils+∂Γiks∂xj−∂Γjks∂xi R_{ijk}^{s} = \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{jl}^{s} - \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l} \Gamma_{il}^{s} + \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{s}}{\partial x_{j}} - \dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{s}}{\partial x_{i}}

R3\mathbb{R}^{3}での微分幾何学では、逆に上の式をリーマン曲率テンソルの係数として定義する。すると、R(Xi,Xj,Xk,Xl)R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l})は次のようになる。

R(Xi,Xj,Xk,Xl)=g(R(Xi,Xj)Xk,Xl)=⟨R(Xi,Xj)Xk,Xl⟩=∑sg(RijksXs,Xl)=∑sRijksg(Xs,Xl)=∑sRijksgsl=denoteRijkl \begin{align*} R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l}) &= g( R(X_{i}, X_{j})X_{k}, X_{l} ) = \left\langle R(X_{i}, X_{j})X_{k}, X_{l} \right\rangle \\ &= \sum_{s}g(R_{ijk}^{s}X_{s}, X_{l}) \\ &= \sum_{s}R_{ijk}^{s}g(X_{s}, X_{l}) \\ &= \sum_{s}R_{ijk}^{s}g_{sl} \\ &\overset{\text{denote}}{=} R_{ijkl} \end{align*}

この式を見ると、RijksR_{ijk}^{s}であれRijklR_{ijkl}であれ、メトリックgksg_{ks}を掛けた差しかない。この理由で、R(X,Y)ZR(X, Y)ZとR(X,Y,Z,W)R(X,Y,Z,W)の表記を重複して使い、実質的に同じものとみなす。

対称性

ビアンキの恒等式により、次が成り立つ。

Rijks+Rjkis+Rkijs=0,∀s R_{ijk}^{s} + R_{jki}^{s} + R_{kij}^{s} = 0,\quad \forall s

リーマン曲率の対称性により、次が成り立つ。

Rijkl+Rjkil+Rkijl=0Rijkl=−RjiklRijkl=−RijlkRijkl=Rklij \begin{align*} R_{ijkl} + R_{jkil} + R_{kijl} &= 0 \\ R_{ijkl} &= -R_{jikl} \\ R_{ijkl} &= -R_{ijlk} \\ R_{ijkl} &= R_{klij} \end{align*}

  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p92-93 ↩︎