📂幾何学

リーマン曲率テンソルの座標系表現

説明¹

リーマン多様体 $(M, g)$が与えられたとしよう。$p$での座標系を$(U, \mathbf{x})$としよう。そして接ベクトルを次のように表記しよう。

$$ \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \overset{\text{denote}}{=} X_{i} $$

今、$R(X_{i}, X_{j})X_{k}$を考えてみよう。リーマン曲率テンソル $R$の定義により、これもまた一つのベクトル場である。したがって、次のように表現できる。

$$ R(X_{i}, X_{j})X_{k} = \sum_{l}R_{ijk}^{l}X_{l} $$

上のベクトルの係数は$X_{i}, X_{j}, X_{k}$によって決定されるので$R_{ijk}^{l}$と表記する。今、ベクトル場$X, Y, Z$が次のようであるとしよう。

$$ X = \sum u^{i}X_{i},\quad Y = \sum v^{j}X_{j},\quad Z = \sum w^{k}X_{k} $$

すると、$R$の線形性によって次を得る。

$$ R(X, Y)Z = \sum_{i, j, k, l}R_{ijk}^{l}u^{i}v^{j}w^{k}X_{l} $$

$R_{ijk}^{l}$をクリストッフェル記号$\Gamma_{ij}^{k}$で表すために$R(X_{i}, X_{j})X_{k}$を再度見よう。$[X_{i}, X_{j}] = 0$であり、定義により$\nabla_{X_{i}}X_{j} = \Gamma_{ij}^{k}X_{k}$だから、

$$ \begin{align*} R(X_{i}, X_{j})X_{k} &= \nabla_{X_{j}}\nabla_{X_{i}}X_{k} - \nabla_{X_{i}}\nabla_{X_{j}}X_{k} \\ &= \nabla_{X_{j}}\left( \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l}X_{l} \right) - \nabla_{X_{i}}\left( \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l}X_{l} \right) \\ &= \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l} \nabla_{X_{j}} X_{l} + \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial x_{j}}X_{l} - \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l}\nabla_{X_{i}}X_{l} - \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{l}}{\partial x_{i}}X_{l}\\ &= \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l} \sum_{s}\Gamma_{jl}^{s}X_{s} - \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l} \sum_{s} \Gamma_{il}^{s}X_{s} + \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial x_{j}}X_{l} - \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{l}}{\partial x_{i}}X_{l} \\ &= \sum_{s} \sum_{l} \left( \Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{jl}^{s} - \Gamma_{jk}^{l} \Gamma_{il}^{s} \right)X_{s} + \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial x_{j}}X_{l} - \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{l}}{\partial x_{i}}X_{l} \\ &= \sum_{s} \sum_{l} \left( \Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{jl}^{s} - \Gamma_{jk}^{l} \Gamma_{il}^{s} \right)X_{s} + \sum_{s}\dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{s}}{\partial x_{j}}X_{s} - \sum_{s}\dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{s}}{\partial x_{i}}X_{s} \\ &= \sum_{s} \left( \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{jl}^{s} - \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l} \Gamma_{il}^{s} + \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{s}}{\partial x_{j}} - \dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{s}}{\partial x_{i}} \right)X_{s} \\ &= \sum_{s} R_{ijk}^{s}X_{s} \\ \end{align*} $$

したがって、

$$ R_{ijk}^{s} = \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{jl}^{s} - \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l} \Gamma_{il}^{s} + \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{s}}{\partial x_{j}} - \dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{s}}{\partial x_{i}} $$

$\mathbb{R}^{3}$での微分幾何学では、逆に上の式をリーマン曲率テンソルの係数として定義する。すると、$R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l})$は次のようになる。

$$ \begin{align*} R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l}) &= g( R(X_{i}, X_{j})X_{k}, X_{l} ) = \left\langle R(X_{i}, X_{j})X_{k}, X_{l} \right\rangle \\ &= \sum_{s}g(R_{ijk}^{s}X_{s}, X_{l}) \\ &= \sum_{s}R_{ijk}^{s}g(X_{s}, X_{l}) \\ &= \sum_{s}R_{ijk}^{s}g_{sl} \\ &\overset{\text{denote}}{=} R_{ijkl} \end{align*} $$

この式を見ると、$R_{ijk}^{s}$であれ$R_{ijkl}$であれ、メトリック$g_{ks}$を掛けた差しかない。この理由で、$R(X, Y)Z$と$R(X,Y,Z,W)$の表記を重複して使い、実質的に同じものとみなす。

対称性

ビアンキの恒等式により、次が成り立つ。

$$ R_{ijk}^{s} + R_{jki}^{s} + R_{kij}^{s} = 0,\quad \forall s $$

リーマン曲率の対称性により、次が成り立つ。

$$ \begin{align*} R_{ijkl} + R_{jkil} + R_{kijl} &= 0 \\ R_{ijkl} &= -R_{jikl} \\ R_{ijkl} &= -R_{ijlk} \\ R_{ijkl} &= R_{klij} \end{align*} $$