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暗示的ルンゲ＝クッタ法

概要

常微分方程式ソルバーのルンゲ＝クッタ法を紹介する。よく使われる4次ルンゲ＝クッタ法 RK4は、明示的ルンゲ＝クッタ法の一種だ。この文書では、暗示的ルンゲ＝クッタ法について説明する。

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$$y^{\prime} = f(t,y),\quad t \ge t_{0},\quad y(t_{0}) = y_{0}$$

上に与えられた常微分方程式を考えよう。$y$は$t$の関数であり、$^{\prime}$は$t$に対する微分を意味する。$y_{n} = y(t_{n})$のように示された場合、明示的ルンゲ＝クッタ法は、与えられた$y_{n}$に対して、$y_{n+1}$を次のように近似する方法である。

$$\begin{equation} y_{n+1} = y_{n} + h\sum_{j=1}^{\nu} b_{j} f(t_{n} + c_{j}h,y(t_{n} + c_{j}h)),\quad n=0,1,2,\cdots \end{equation}$$

このとき、

$$\begin{align*} \xi_{1} &= y_{n} \\ \xi_{2} &= y_{n} + ha_{2,1}f(t_{n}, \xi_{1}) \\ \xi_{3} &= y_{n} + ha_{3,1}f(t_{n}, \xi_{1}) + ha_{3,2}f(t_{n} + c_{2}h, \xi_{2}) \\ \vdots & \\ \xi_{\nu} &= y_{n} + h\sum_{i=1}^{\nu-1}a_{\nu, i}f(t_{n} + c_{i}h, \xi_{i}) \end{align*}$$

上の数式に従って、各$\xi_{j}$は、$\xi_{j-1}$を知っていれば計算できるし、明示的メソッドでは、$\xi_{1} = y_{n}$になるように設定されているため、$\xi_{1}$は既知の値だ。つまり、$\xi_{2}$から$\xi_{\nu}$まで順次計算できるように設定されているのが、明示的メソッドである。

暗示的メソッドでは、各$\xi_{j}$を計算するために、すべての$\xi_{i}$が必要になるように設定する。つまり、$\xi_{j}$に関する連立方程式を解かなければ、$y_{n+1}$を計算できない。

定義

暗示的ルンゲ＝クッタ法は、与えられた$y_{n}$に対して$y_{n+1}$を次のように近似する方法である。

$$y_{n+1} = y_{n} + h\sum_{j=1}^{\nu} b_{j} f(t_{n} + c_{j}h, \xi_{j}),\quad n=0,1,2,\dots$$

このとき、

$$\xi_{j} = y_{n} + h\sum_{i=1}^{\nu}a_{j,i}f(t_{n} + c_{i}h, \xi_{i}),\quad j=1,\dots,\nu$$

このとき、行列$A = [a_{j,i}]$をルンゲ＝クッタ行列と呼ぶ。また、下の$\mathbf{b}$と$\mathbf{c}$をそれぞれRKウェイト、RKノードと呼ぶ。

$$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{\nu} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{c} = \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{\nu} \end{bmatrix}$$

このとき、

$$c_{j} = \sum\limits_{i=1}^{\nu} a_{j, i},\quad j=1,2,\dots,\nu$$

さらに、式$(1)$が**$\nu$ステージ**を持つと言い、このような方法を$\nu$ステージ（または$\nu$階）ルンゲ＝クッタ法と呼ぶ。

説明

明示的メソッドでは行列$A = [a_{j,i}]$が下三角行列だったのに対し、暗示的メソッドでは$A$は任意の行列である。

RKメソッドでは、係数$a_{j,i}$、$b_{j}$、$c_{j}$は見つけるのではなく、選んで使うものだ。係数は$\begin{array}{c|c} \mathbf{c} & A \\ \hline & \mathbf{b}^{t} \end{array}$のように記され、これをRKテーブルと呼ぶ。

明示的メソッドと比べて、解くのにはるかに多くの時間がかかるのは当然だ。しかし、暗示的メソッドの長所は速さではなく、解の安定性にある。明示的メソッドの短所は解の不安定性であり、それに対する代替として暗示的メソッドが使われる。

参照

• 明示的ルンゲ＝クッタ法
• 4次ルンゲ＝クッタ法