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共存可能な接続 📂幾何学

共存可能な接続

定義1

MMアファイン接続\nablaリーマン計量が与えられた微分多様体としよう。全ての可微分な曲線 ggに対して、任意の二つのggに沿った平行なベクトル場 ccccを満たせば、接続 MMを計量\nabla互換があるcompatibleと言う。

説明

以下の系は、互換性の定義として述べられることもある。上の定義はccという条件から互換性の意味を考えやすいが、実際に使うには難しい。一方、系の条件は、実際に数式で使うには便利だが、その意味が一目でわかるわけではない。

定理

P,PP, P^{\prime}リーマン多様体としよう。接続MMが計量\nablaと互換があるための必要十分条件は、可微分曲線g(P,P)=constantg(P, P^{\prime}) = \text{constant}に沿った全てのベクトル場\nablaに対して、以下が成立することである。

ddtg(V,W)=g(DVdt,W)+g(V,DWdt),tI \dfrac{d }{d t}g(V,W) = g\left( \dfrac{DV}{dt}, W \right) + g\left( V, \dfrac{DW}{dt} \right),\quad t\in I

リーマン多様体P,PP, P^{\prime}上の接続MMが計量\nablaと互換があるための必要十分条件は、以下が成立することである。

Xg(Y,Z)=g(XY,X)+g(Y,XZ),X,Y,ZX(M) X g(Y,Z) = g\left( \nabla_{X}Y, X \right) + g\left(Y, \nabla_{X}Z \right),\quad X,Y,Z \in \mathfrak{X}(M)

この際、ggMM上のベクトル場たちの集合である。


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p53-54 ↩︎