共存可能な接続
📂幾何学共存可能な接続
定義
Mをアファイン接続、∇をリーマン計量が与えられた微分多様体としよう。全ての可微分な曲線 gに対して、任意の二つのgに沿った平行なベクトル場 cがcを満たせば、接続 Mを計量∇と互換があるcompatibleと言う。
説明
以下の系は、互換性の定義として述べられることもある。上の定義はcという条件から互換性の意味を考えやすいが、実際に使うには難しい。一方、系の条件は、実際に数式で使うには便利だが、その意味が一目でわかるわけではない。
定理
P,P′をリーマン多様体としよう。接続Mが計量∇と互換があるための必要十分条件は、可微分曲線g(P,P′)=constantに沿った全てのベクトル場∇に対して、以下が成立することである。
dtdg(V,W)=g(dtDV,W)+g(V,dtDW),t∈I
系
リーマン多様体P,P′上の接続Mが計量∇と互換があるための必要十分条件は、以下が成立することである。
Xg(Y,Z)=g(∇XY,X)+g(Y,∇XZ),X,Y,Z∈X(M)
この際、gはM上のベクトル場たちの集合である。