📂幾何学

ガウスの偉大な定理

定理[^1]

ガウス曲率 $K$は固有的であり、以下が成り立つ。

$$K = \dfrac{\sum\limits_{l} R_{121}^{l}g_{l2}}{g}$$

ここで、$R_{ijk}^{l}$はリーマン曲率テンソルの係数であり、$g$と$g_{ij}$はリーマン計量の係数である。

系

$R_{ijk}^{l} = \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial u^{j}} - \dfrac{\partial \Gamma_{ij}^{l}}{\partial u^{k}} + \sum_{p} \left( \Gamma_{ik}^{p} \Gamma_{pj}^{l} - \Gamma_{ij}^{p}\Gamma_{pk}^{l}\right) \text{ for }$であるので、以下が成り立つ。

$$K = \dfrac{1}{g}\left( \dfrac{\partial \Gamma_{11}^{1}}{\partial u^{2}} - \dfrac{\partial \Gamma_{12}^{1}}{\partial u^{1}} + \Gamma_{11}^{1} \Gamma_{12}^{1} - \Gamma_{12}^{1}\Gamma_{11}^{1} + \Gamma_{11}^{2} \Gamma_{22}^{1} - \Gamma_{12}^{2}\Gamma_{21}^{1}\right) \left( \dfrac{\partial \Gamma_{11}^{2}}{\partial u^{2}} - \dfrac{\partial \Gamma_{12}^{2}}{\partial u^{1}} + \Gamma_{11}^{1} \Gamma_{12}^{2} - \Gamma_{12}^{1}\Gamma_{11}^{2} + \Gamma_{11}^{2} \Gamma_{22}^{2} - \Gamma_{12}^{2}\Gamma_{21}^{2}\right)$$

説明

これはガウスの定理エグレギウムと呼ばれる。定理エグレギウムは素晴らしい定理、突出した定理などと訳され、ガウス自身がラテン語の論文で使用した用語である。¹

ガウスがegregiumという表現を使用したのは、ガウス曲率 $K$が全くそう思われないからである。ガウス曲率は主曲率の積で定義され、主曲率はユニットノーマル $\mathbf{n}$の変化率を計るバインガルテンマップから求められる。つまり、$K$は非常に外的に定義されているが、実際は固有的であるため、ガウスがこの名前を付けたと考えられる。

証明

ガウス方程式により、$R_{ijk}^{l} = L_{ik}L_{j}^{l} - L_{ij}L_{k}^{l}$である。したがって、以下を得る。

$$\begin{align*} \sum\limits_{l} R_{ijk}^{l} g_{lm} &= \sum\limits_{l} ( L_{ik}L_{j}^{l} - L_{ij}L_{k}^{l} ) g_{lm} \\ &= \sum\limits_{l} ( L_{ik}L_{j}^{l}g_{lm} - L_{ij}L_{k}^{l}g_{lm} ) \\ &= L_{ik}\sum\limits_{l}L_{j}^{l}g_{lm} - L_{ij}\sum\limits_{l}L_{k}^{l}g_{lm} \end{align*}$$

ここで、$g_{lm}$は第一基本形式の係数である。この時、$L_{j}^{l} = \sum\limits_{i} L_{ij}g^{il}$であり、$\sum\limits_{k}g_{ik}g^{kj} = \delta_{i}^{j}$であるため、以下を得る。

$$\begin{align*} && L_{j}^{l} &= \sum_{i} L_{ij}g^{il} \\ \implies && \sum\limits_{l} L_{j}^{l}g_{lm} &= \sum\limits_{l} \sum\limits_{i} L_{ij}g^{il}g_{lm} \\ && &= \sum\limits_{i} L_{ij}\delta_{m}^{i} \\ && &= L_{mj} \end{align*}$$

この式に代入すると、

$$\sum\limits_{l} R_{ijk}^{l} g_{lm} = L_{ik}L_{mj} - L_{ij}L_{mk}$$

$i = k = 1$および$j = m = 2$とすると、

$$\begin{align*} \sum\limits_{l} R_{121}^{l}g_{l2} &= L_{22}L_{22} - L_{12}L_{12} = \det ([L_{ij}]) = \det ([(L_{j}^{k}) (g_{ik})]) \\ &= \det ([L_{j}^{k}]) \det([g_{ik}]) = Kg \end{align*}$$

したがって、

$$K = \dfrac{\sum\limits_{l} R_{121}^{l}g_{l2}}{g}$$

$g$は固有的であり、$R_{ijk}^{l}$も固有的であるため、$K$は固有的である。

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