📂幾何学

主曲線の曲率

ビルドアップ¹

曲面 $M$がどの方向に、どれだけ曲がっているかを知るためには、各方向の法曲率 $\kappa_{n}$を知ればいい。つまり、点$p$での全ての$\kappa_{n}$を知れば、$M$がどのように曲がっているかを知ることができる。これを知るための最初のステップとして、$\kappa_{n}$の最大値と最小値について考えよう。単位接線曲線$\boldsymbol{\gamma}$に対して、次の定理が成立する。

補助定理

$\mathbf{T}$が単位速度曲線$\boldsymbol{\gamma}$の接線場とすると、$\kappa_{n} = II (\mathbf{T}, \mathbf{T})$が成立する。

よって、私たちの目的は、接線ベクトル$\mathbf{X} \in T_{p}M$に対して$II(\mathbf{X}, \mathbf{X}) = \kappa_{n}$の最大値と最小値を求めることである。ここで、$II$は第二基本形式である。

この問題は言い換えれば、制約条件が$\left\langle \mathbf{X}, \mathbf{X} \right\rangle = 1$の、$II(\mathbf{X}, \mathbf{X})$の最大化（最小化）問題である。このような問題はラグランジュの未定乗数法で解くことができる。それでは、私たちが解くべき問題は$II(\mathbf{X}, \mathbf{X})$の最大値（最小値）を求めることから、次のような$f$の最大値（最小値）を求めることに変わる。ワインガルテンマップ$L$に対して$II(\mathbf{X}, \mathbf{X}) = \left\langle L(\mathbf{X}), \mathbf{X} \right\rangle$なので、

$$ \begin{align*} f(\mathbf{X}, \lambda) &= II(\mathbf{X}, \mathbf{X}) - \lambda (\left\langle \mathbf{X}, \mathbf{X} \right\rangle - 1) \\ &= \left\langle L(\mathbf{X}), \mathbf{X} \right\rangle - \lambda\left\langle \mathbf{X}, \mathbf{X} \right\rangle + \lambda\\ &= \left\langle L(\mathbf{X}) - \lambda \mathbf{X}, \mathbf{X} \right\rangle + \lambda\\ \end{align*} $$

これを座標極座標写像$\mathbf{x}$に対して表現すると、$\mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + \mathbf{X}^{2}\mathbf{x}_{2}$、$L(\mathbf{x}_{k}) = \sum\limits_{l}{L^{l}}_{k}\mathbf{x}_{l}$なので、

$$ \begin{align*} f(\mathbf{X}, \lambda) &= f(X^{1}, X^{2}, \lambda) \\ &= \lambda + \left\langle \sum\limits_{i,j} {L^{i}}_{j}X^{j}\mathbf{x}_{i} - \sum\limits_{j}\lambda X^{j}\mathbf{x}_{j}, \sum\limits_{k}X^{k}\mathbf{x}_{k} \right\rangle \\ &= \lambda + \left\langle {L^{i}}_{j}X^{j}\mathbf{x}_{i} - \lambda X^{j}\mathbf{x}_{j}, X^{k}\mathbf{x}_{k} \right\rangle & \text{by } \href{https://freshrimpsushi.github.io/posts/einstein-notation}{\text{Einstein notation}} \\ &= \lambda + {L^{i}}_{j}X^{j}X^{k}\left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{k} \right\rangle - \lambda X^{j}X^{k} \left\langle \mathbf{x}_{j}, \mathbf{x}_{k} \right\rangle \\ &= \lambda + {L^{i}}_{j}X^{j}X^{k}g_{ik} - \lambda X^{j}X^{k} g_{jk} \\ &= \lambda + {L^{i}}_{j}X^{j}X^{k}g_{ik} - \lambda X^{j}X^{k} \delta_{ij}g_{ik} \\ &= \lambda + ({L^{i}}_{j} - \lambda \delta_{ij}) X^{j}X^{k}g_{ik} \end{align*} $$

$\delta$はクロネッカーのデルタである。ラグランジュの未定乗数法により$\dfrac{\partial f}{\partial X^{l}} = 0$を得る。$L_{jk} = \sum\limits_{l}{L^{l}}_{k}g_{lj}$なので、

$$ \begin{align*} 0 = \dfrac{\partial f}{\partial X^{l}} &= \sum\limits_{ijk} ({L^{i}}_{j} - \lambda \delta_{ij})\delta_{jl}X^{k}g_{ik} + \sum\limits_{ijk} ({L^{i}}_{j} - \lambda \delta_{ij})\delta_{kl}X^{j}g_{ik} \\ &= \sum\limits_{ik} ({L^{i}}_{l} - \lambda \delta_{il})X^{k}g_{ik} + \sum\limits_{ij} ({L^{i}}_{j} - \lambda \delta_{ij})X^{j}g_{il} \\ &= \sum\limits_{ik} {L^{i}}_{l}X^{k}g_{ik} - \sum\limits_{ik}\lambda \delta_{il}X^{k}g_{ik} + \sum\limits_{ij} {L^{i}}_{j}X^{j}g_{il} - \sum\limits_{ij}\lambda \delta_{ij}X^{j}g_{il} \\ &= \sum\limits_{k} L_{kl}X^{k} - \sum\limits_{k}\lambda X^{k}g_{lk} + \sum\limits_{j} L_{lj}X^{j} - \sum\limits_{j}\lambda X^{j}g_{jl} \\ &= \sum\limits_{j} \left( L_{jl}X^{j} - \lambda X^{j}g_{lj} + L_{lj}X^{j} - \lambda X^{j}g_{jl} \right) \\ &= 2\sum\limits_{j} \left( L_{jl}X^{j} - \lambda X^{j}g_{lj} \right) = 2\sum\limits_{j}L_{jl}X^{j} - 2\sum\limits_{j}\lambda X^{j}g_{lj} \\ &= 2\sum\limits_{j}L_{jl}X^{j} - 2\sum\limits_{j}\lambda X^{j}g_{lj} \\ &= 2\sum\limits_{ij}{L^{i}}_{j}X^{j}g_{il} - 2\sum\limits_{ij}\lambda X^{j}\delta_{ij}g_{li} \\ &= 2\sum\limits_{ij}\left( {L^{i}}_{j} - \lambda\delta_{ij} \right)X^{j}g_{li} \\ \end{align*} $$

$$ \implies \sum\limits_{ij}\left( {L^{i}}_{j} - \lambda\delta_{ij} \right)X^{j}g_{li} = 0 $$

したがって、全ての$Y^{l}$に対して、次を得る。

$$ \sum\limits_{ijl}\left( {L^{i}}_{j} - \lambda\delta_{ij} \right)X^{j}Y^{l}g_{li} = 0 $$

これは次を意味する。$\forall \mathbf{Y}=\sum\limits_{l}Y^{l}\mathbf{x}_{l}$、

$$ \begin{align*} \left\langle L(\mathbf{X}) - \lambda \mathbf{X}, \mathbf{Y} \right\rangle &= \left\langle L\left( \sum\limits_{j}X^{j}\mathbf{x}_{j} \right) - \sum\limits_{i}\lambda X^{i} \mathbf{x}_{i}, \sum\limits_{l}Y^{l}\mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ &= \left\langle \sum\limits_{ij}{L^{i}}_{j}X^{j}\mathbf{x}_{i} - \sum\limits_{ij}\lambda \delta_{ij} X^{j} \mathbf{x}_{i}, \sum\limits_{l}Y^{l}\mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ &= \sum\limits_{ijl}{L^{i}}_{j}X^{j}Y^{l}\left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle - \sum\limits_{ijl}\lambda \delta_{ij}X^{j}Y^{l}\left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ &= \sum\limits_{ijl}({L^{i}}_{j} - \lambda \delta_{ij} )X^{j}Y^{l}g_{il} \\ &= 0 \end{align*} $$

したがって、次を得る。

$$ \dfrac{\partial f}{\partial X^{l}} = 0 \implies \left\langle L(\mathbf{X}) - \lambda \mathbf{X}, \mathbf{Y} \right\rangle = 0\quad \forall \mathbf{Y} \implies L(\mathbf{X}) = \lambda \mathbf{X} $$

よって、$\lambda$は$L$の固有値であり、$\mathbf{X}$はそれに対応する固有ベクトルである。特に、$\mathbf{X}$は制約条件$\left\langle \mathbf{X}, \mathbf{X} \right\rangle = 1$を満たさなければならないので単位固有ベクトルである。なので、2つの単位固有ベクトルに対して$II(\mathbf{X}, \mathbf{X})$は最大値（最小値）を取るという結論を得る。

さらに、$B = \left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$とし、便宜上$L$の行列表示を$L$と重複して表記し、$L \equiv \left[ L \right]_{B}$とすると、$\lambda$は次の式の解である。

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \det(L - \lambda I) &= (\lambda - {L^{1}}_{1})(\lambda - {L^{2}}_{2}) - {L^{1}}_{2}{L^{2}}_{1} \\ &= \lambda^{2} - ({L^{1}}_{1}{L^{2}}_{2})\lambda + ({L^{1}}_{1}{L^{2}}_{2} - {L^{1}}_{2}{L^{2}}_{1}) \\ &= \lambda^{2} - \tr(L) \lambda + \det(L) \\ &= 0 \end{aligned} \label{1} \end{equation} $$

2つの解（固有値）を$\kappa_{1}, \kappa_{2}$（$\kappa_{1} \ge \kappa_{2}$）と表記しよう。以下の定理は、これら2つの値が実際には$\kappa_{n}$の最小値と最大値であることを述べている。

定理

曲面$M$上の各点には、1.法曲率がそれぞれ最大、最小であり、2.互いに垂直な2つの方向が存在する。

証明

$L$の2つの固有値はそれぞれ法曲率の最大値と最小値である。

上述の考察に従って、$L$の固有ベクトルの方向において、$M$上の点$p$での法曲率は最大値と最小値をとる。点$p$での$L$の2つの固有値を$\kappa_{1}, \kappa_{2}(\kappa_{1} \ge \kappa_{2})$、それに対応する固有ベクトルを$\mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2}$としよう。すると、法曲率の最大値と最小値は以下の通りである。

$$ \kappa_{n} = II(\mathbf{X}_{i}, \mathbf{X}_{i}) = \left\langle L(\mathbf{X}_{i}), \mathbf{X}_{i} \right\rangle = \left\langle \kappa_{i}\mathbf{X}_{i}, \mathbf{X}_{i} \right\rangle = \kappa_{i}\left\langle \mathbf{X}_{i}, \mathbf{X}_{i} \right\rangle = \kappa_{i} $$

したがって、大きい固有値$\kappa_{1}$が最大法曲率、小さい値$\kappa_{2}$が最小法曲率である。

2つの固有ベクトルは互いに垂直である。

• $\kappa_{1} \ne \kappa_{2}$

この場合、$L$が自己随伴であるため、

$$ \kappa_{1} \left\langle \mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2} \right\rangle = \left\langle L(\mathbf{X}_{1}), \mathbf{X}_{2} \right\rangle = \left\langle \mathbf{X}_{1}, L(\mathbf{X}_{2}) \right\rangle = \left\langle \mathbf{X}_{1}, \kappa_{2} \mathbf{X}_{2} \right\rangle = \kappa_{2} \left\langle \mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2} \right\rangle \\ \implies (\kappa_{1} - \kappa_{2}) \left\langle \mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2} \right\rangle = 0 $$

仮定により、$\left\langle \mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2} \right\rangle = 0$

• $\kappa_{1} = \kappa_{2}$

補助定理

$\lambda$、$\mathbf{X}$が曲面$M$上の点$p$での$L$の固有値、固有ベクトルとする。単位接線ベクトル$\mathbf{Y} \in T_{p}M$が$\left\langle \mathbf{X}, \mathbf{Y} \right\rangle = 0$を満たすとする。すると$\mathbf{Y}$も固有ベクトルである。

証明

仮定により$\left\{ \mathbf{X}, \mathbf{Y} \right\}$は$T_{p}M$の基底である。$L$が自己随伴であるため、

$$ 0 = \left\langle \lambda \mathbf{X}, \mathbf{Y} \right\rangle = \left\langle L(\mathbf{X}), \mathbf{Y} \right\rangle = \left\langle \mathbf{X}, L(\mathbf{Y}) \right\rangle = \left\langle \mathbf{X}, a_{1} \mathbf{X} + a_{2} \mathbf{Y} \right\rangle $$

よって、$a_{1}=0$が成立し、$L(\mathbf{Y}) = a_{2}\mathbf{Y}$であるため、$\mathbf{Y}$も固有ベクトルである。

■

補助定理によって、$\mathbf{X}_{1}$に垂直な単位ベクトルも固有ベクトルである。したがって、これを$\mathbf{X}_{2}$として選ぶことができる。

■

定義

• 点$p\in M$で定義されたワインガルテンマップ$L$の固有値$\kappa_{1}, \kappa_{2}$を、点$p$での曲面$M$の主曲率と呼ぶ。$L$の固有ベクトルを、点$p$での主方向と呼ぶ。

• 2つの主曲率$\kappa_{1}, \kappa_{2}$が等しい点をアンビリックと呼ぶ。

• 曲線の全ての点において、接線ベクトルがその点での曲面$M$上の主方向である場合、その曲線を曲面$M$上の曲率線と呼ぶ。

説明

上述の考察により、主曲率の大きい値（小さい値）は、点$p$での法曲率の最大値（最小値）である。

$S^{2}$と$\mathbb{R}^{2}$の全ての点はアンビリックである。[逆も成立する。]

$\eqref{1}$では、根と係数の関係により、$\kappa_{1} \kappa_{2} = \det L$が成立し、これをガウス曲率と呼ぶ。また、$\dfrac{\kappa_{1} + \kappa_{2}}{2} = \dfrac{\tr{L}}{2}$を平均曲率と呼ぶ。