多変数関数のテイラーの定理
📂多変数ベクトル解析多変数関数のテイラーの定理
定理
f:Rn→RをCk 関数、a=(a1,…,an)∈Rnとしよう。そしたら、次を満たすCk−2関数hijが存在する。
f(x)=f(a)+i∑(xi−ai)∂xi∂f(a)+i,j∑hij(x)(xi−ai)(xj−aj)
説明
テイラーの定理を多変数関数に一般化したものだ。
second-order
f(x)=f(a)+i=1∑n(xi−ai)∂xi∂f(a)+2!1i,j=1∑n(xi−ai)2∂xi∂xj∂2f(a)+Remainder=f(a)+(x−a)T∇f(a)+2!1(x−a)T(H(a))(x−a)+Remainder
ここで、∇fはfグラディエントで、Hはfのヘシアンだ。
残差項remainder termについては、以下の形も便利に使われる。
f(x+p)=f(x)+pT∇f(x+tp)for some t∈(0,1)
f(x+p)=f(x)+pT∇f(x)+2!1pTH(x+tp)pfor some t∈(0,1)
f(x+p)=f(x)+∫01pT∇f(x+tp)dt
証明
f(x)−f(a)=== ∫01dtd[f(t(x−a)+a)]dt ∫01(i∑∂xi∂f(t(x−a)+a)(xi−ai))dt i∑(xi−ai)∫01(∂xi∂f(t(x−a)+a))dtby \href
積分部分をgi(x)と表記しよう。gi(x)=∫01(∂xi∂f(t(x−a)+a))dtとすると、
f(x)−f(a)=i∑(xi−ai)∫01(∂xi∂f(t(x−a)+a))dt=i∑gi(x)(xi−ai)
gi(a)の値は次の通り。
gi(a)=∫01∂xi∂f(t(a−a)+a)dt=∫01∂xi∂f(a)dt=∂xi∂f(a)
それならば、(1)を導出した時と同様の方法で、次の式を得られる。
gi(x)−gi(a)=j∑hij(x)(xj−aj)
これで、まとめると
f(x)==== f(a)+i∑gi(x)(xi−ai) f(a)+i∑(gi(a)+j∑hij(x)(xj−aj))(xi−ai) f(a)+i∑gi(a)(xi−ai)+i,j∑hij(x)(xi−ai)(xj−aj) f(a)+i∑∂xi∂f(a)(xi−ai)+i,j∑hij(x)(xi−ai)(xj−aj)
■
一緒に見る