📂幾何学

単純な曲面上の接ベクトル

定義¹

座標パッチ $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$ 上の点 $p = \mathbf{x}(a,b)$ を考えよう。ベクトル $\mathbf{X}$ が $p$ を通るある曲線 $\mathbf{x}(U)$ 上の$p$での速度ベクトルならば、$\mathbf{X}$ を単純な曲面 $\mathbf{x}$ に対する接ベクトル^{tangent vector}と定義する。

つまり、任意の$\epsilon > 0$に対して、適当に短い曲線 $\boldsymbol{\alpha} : (-\epsilon, \epsilon) \to \mathbf{x}(U) \subset \mathbb{R}^{3}$ が存在して、次の条件

$$\boldsymbol{\alpha}(0) = p \quad \text{and} \quad \boldsymbol{\alpha}^{\prime}(0) = \left. \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t}\right|_{t=0}= \mathbf{X} \quad \text{and} \quad \boldsymbol{\alpha} (t) = \mathbf{x}\left( \alpha_{1}(t), \alpha_{2}(t) \right)$$

を満たすならば、$\mathbf{X}$ を単純な曲面 $\mathbf{x}$ に対する接ベクトル^{tangent vector}という。

説明

上述のように定義された接ベクトルの集合は、下記の定理によりベクタースペースになり、これは実際には接平面と同じである。したがって、接平面は接空間^{tangent space}と呼ばれる。

• 曲面 $M$ 上の点 $p \in M$ での $M$ に対する全ての接ベクトルの集合を $T_{p}M$ と記し、接空間^{tangent space}と呼ぶ。

$$T_{p}M = \left\{ \text{all vectors tangent to } M \text{ at } p \right\}$$

この定義の方法は微分多様体上の接ベクトルを定義するときにもそのまま使用される。最初この定義を見たとき、そんな曲線 $\boldsymbol{\alpha}$ を考えながら定義する理由がすぐには理解しづらいかもしれないが、微分幾何を続けて学んだり、多様体への一般化に接したりすると、自然と受け入れられるようになるだろう。