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有界線形作用素の拡張定理 📂バナッハ空間

有界線形作用素の拡張定理

定理1 2

V1,V2V_{1}, V_{2}をバナッハ空間としよう。W⊂V1W \subset V_{1}を稠密部分空間としよう。そして、T:W→V2T : W \to V_{2}を有界線形作用素としよう。すると、すべてのv∈W\mathbf{v} \in Wに対してT~(v)=T(v)\widetilde{T}(\mathbf{v}) = T(\mathbf{v})を満たす有界線形作用素

T~:V1→V2 \widetilde{T} : V_{1} \to V_{2}

が唯一に存在する。また、次のことが成り立つ。

∥T~∥=∥T∥ \| \widetilde{T} \| = \left\| T \right\|

説明

T~\widetilde{T}をTTの拡張という。

1.gif 定理ではT~\widetilde{T}の具体的な姿は言及されないが、証明過程で稠密な部分空間を通じて列の収束によって定義される。このようにして拡張した作用素T~\widetilde{T}は自然にTTとして使用されることもある。

有界線形作用素T:W→VT : W \to Vとw∈W‾∖W\mathbf{w} \in \overline{W}\setminus Wがある場合、TwT \mathbf{w}を定義したいが、TTの定義域がWWに限られているため不可能である。このとき、w\mathbf{w}に収束する列{wk}\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}はWWに存在するため、TwT \mathbf{w}を「間接的」に次のようにそれらしく定義することができる。

T(w):=lim⁡k→∞T(wk) T (\mathbf{w}) := \lim \limits_{k \to \infty} T(\mathbf{w}_{k})

これを言葉で表すと、以下のようになる。

w\mathbf{w}は、もともとTTの定義域に属していないため、TwT \mathbf{w}を定義することはできない。しかし、w\mathbf{w}に収束する列{wk}\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}がTTの定義域内に存在する。したがって、wk→w\mathbf{w}_{k} \to \mathbf{w}の時Twk→TwT \mathbf{w}_{k} \to T \mathbf{w}になるため、Tw:=lim⁡k→∞TwkT \mathbf{w} := \lim\limits_{k\to \infty}T \mathbf{w}_{k}のように定義するのは自然であり、それらしい。そして、これが実際に可能である。

したがって、あるバナッハ空間WWで定義された有界線形作用素T:W→VT : W \to Vは、WWからVVへのマッピングを保ちながら、WWの閉包W‾\overline{W}まで、上記の定理から定義域を拡張することが保証される。

証明

v∈V1\mathbf{v} \in V_{1}としよう。WWがV1V_{1}で稠密であるとすると、v\mathbf{v}に収束する列{vk}\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}が存在する。

lim⁡k→∞vk=v \lim \limits_{k \to \infty} \mathbf{v}_{k} = \mathbf{v}

TTが有界かつ線形であるため、ℓ,k∈N\ell, k \in \Nに対して次のことが成り立つ。

∥Tvk−Tvℓ∥=∥T(vk−vℓ)∥≤∥T∥∥vk−vℓ∥ \left\| T \mathbf{v}_{k} - T \mathbf{v}_{\ell} \right\| = \left\| T (\mathbf{v}_{k} - \mathbf{v}_{\ell}) \right\| \le \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v}_{k} - \mathbf{v}_{\ell} \right\|

この時、{vk}\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}がコーシー列であるため、上の式によって{Tvk}\left\{ T \mathbf{v}_{k} \right\}もコーシー列になる。したがって、V2V_{2}がバナッハ空間であるため、{Tvk}\left\{ T \mathbf{v}_{k} \right\}はV2V_{2}内の何らかの元に収束することになる。ここから、T~\widetilde{T}を次のように定義しよう。

T~v:=lim⁡k→∞Tvk \widetilde{T} \mathbf{v} := \lim \limits_{k \to \infty} T\mathbf{v}_{k}

すると、すべてのv∈W\mathbf{v} \in Wに対して有界線形作用素の性質によりTvk→TvT \mathbf{v}_{k} \to T \mathbf{v}が成立するため、T~v=Tv\widetilde{T} \mathbf{v} = T \mathbf{v}を満たす。今v∈V1∖W\mathbf{v} \in V_{1}\setminus Wの場合について考えよう。

  • パート1. 列の選択の無関係性

    v\mathbf{v}に収束するWWの二つの列{vk},{uk}\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}, \left\{ \mathbf{u}_{k} \right\}を考えよう。もし、v\mathbf{v}がWW内の元であったならば、TTが有界線形作用素であるため、vk,uk→v∈W\mathbf{v}_{k}, \mathbf{u}_{k} \to \mathbf{v} \in Wの時TvkT \mathbf{v}_{k}とTukT \mathbf{u}_{k}が同じ値TvT \mathbf{v}に収束することが保証される。しかし、vk,uk→v∈V1∖W\mathbf{v}_{k}, \mathbf{u}_{k} \to \mathbf{v} \in V_{1}\setminus Wの場合には、この性質を使うことができず、直接同じ値に収束するかを確認する必要がある。

    今、次のような列{wk}\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}を考えよう。

    {wk}={v1,u1,v2,u2,… } \left\{ \mathbf{w}_{k} \right\} = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{u}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{u}_{2}, \dots \right\}

    するとlim⁡k→∞wk=v\lim \limits_{k \to \infty} \mathbf{w}_{k} = \mathbf{v}が成立し、TwkT \mathbf{w}_{k}も何らかの値T~v=lim⁡k→∞Twk\widetilde{T} \mathbf{v} = \lim \limits_{k \to \infty} T\mathbf{w}_{k}に収束する。しかし、TvkT \mathbf{v}_{k}とTukT \mathbf{u}_{k}はTwkT\mathbf{w}_{k}の部分列であるため、両者は同じ極限値を持たなければならない。したがって、v\mathbf{v}に収束する任意の列を取ってきても、T~v\widetilde{T} \mathbf{v}は唯一に決定される。

  • パート2. 線形性

    v,w∈V1\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V_{1}であり、vk→v,wk→w\mathbf{v}_{k} \to \mathbf{v}, \mathbf{w}_{k} \to \mathbf{w}としよう。

    T~(αv+βw)= lim⁡k→∞T(αvk+βwk)= αlim⁡k→∞T(vk)+βlim⁡k→∞T(wk)= αT~(v)+βT~(w) \begin{align*} \widetilde{T} \left( \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} \right) =&\ \lim \limits_{k \to \infty} T \left( \alpha \mathbf{v}_{k} + \beta \mathbf{w}_{k} \right) \\ =&\ \alpha \lim \limits_{k \to \infty} T ( \mathbf{v}_{k} ) + \beta \lim \limits_{k \to \infty} T ( \mathbf{w}_{k} ) \\ =&\ \alpha \widetilde{T} \left(\mathbf{v}\right) + \beta \widetilde{T} \left(\mathbf{w} \right) \end{align*}

  • パート3. 有界、∥T~∥=∥T∥\| \widetilde{T} \| = \left\| T \right\|

    v∈V1\mathbf{v} \in V_{1}とし、vk→v\mathbf{v}_{k} \to \mathbf{v}としよう。ノルムは連続であるため、極限を交換できる。この事実とTTが有界であることを利用すると、

    ∥T~v∥= ∥lim⁡k→∞Tvk∥= lim⁡k→∞∥Tvk∥≤lim⁡k→∞∥T∥∥vk∥= ∥T∥∥lim⁡k→∞vk∥= ∥T∥∥v∥ \begin{align*} \left\| \widetilde{T} \mathbf{v} \right\| =&\ \left\| \lim \limits_{k \to \infty} T \mathbf{v}_{k} \right\| \\ =&\ \lim \limits_{k \to \infty} \left\| T \mathbf{v}_{k} \right\| \\ \le& \lim \limits_{k \to \infty} \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v}_{k} \right\| \\ =&\ \left\| T \right\| \left\| \lim \limits_{k \to \infty} \mathbf{v}_{k} \right\| \\ =&\ \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| \end{align*}

    したがって、T~\widetilde{T}は有界であり、∥T~∥≤∥T∥\| \widetilde{T} \| \le \left\| T \right\|が成立する。これから、反対向きの不等式が成立することを示そう。v∈W\mathbf{v} \in Wのベクトルに対しては、次のことが成り立つ。

    ∥T~v∥=∥Tv∥≤∥T∥∥v∥ \| \widetilde{T} \mathbf{v} \| = \| T \mathbf{v} \| \le \| T \| \| \mathbf{v} \|

    しかし、v∈V1∖W\mathbf{v} \in V_{1} \setminus Wの場合には、上のように∥T∥\| T \|によってバウンドされないベクトルが存在する可能性がある。したがって、∥T~∥≥∥T∥\| \widetilde{T} \| \ge \left\| T \right\|が成立することがわかる。したがって、両側の不等式が成立するため、次のことを得る。

    ∥T~∥=∥T∥\| \widetilde{T} \| = \left\| T \right\|

■

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p55 ↩︎

  2. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (1989), p99-101 ↩︎