📂幾何学

微分可能な多様体

定義¹

$M$を任意の集合、$U_{\alpha} \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合とする。一対一関数$\mathbf{x}_{\alpha} : U_{\alpha} \to M$に対して次の条件を満たす順序対$\left( M, \left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha\in \mathscr{A}} \right)$または簡単に$M$を$n$次元の微分可能な多様体^{differentiable manifold of dimension $n$}と定義する。

1. $\bigcup \limits_{\alpha} \mathbf{x}_{\alpha} \left( U_{\alpha} \right) = M$
2. $\varnothing \ne W = \mathbf{x}_{\alpha}\left( U_{\alpha} \right) \cap \mathbf{x}_{\beta}\left( U_{\beta} \right)$に対して、写像$\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha} : \mathbf{x}_{\alpha}^{-1}(W) \to \mathbf{x}_{\beta}^{-1}(W)$が微分可能である。
3. 条件1と2を満たす可能なすべての$\alpha$に対してインデックスファミリー$\left\{ \left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right) \right\}$を構成する。

説明

• 簡単に微分多様体または滑らかな多様体^{smooth manifold}とも呼ぶ。$n$次元の微分多様体を$M^{n}$で表記することもある。

• $p \in \mathbf{x}_{\alpha}(U_{\alpha})$のとき、$\left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right)$または簡単に$\mathbf{x}_{\alpha}$を$p$での$M$の座標系^{system of coordinates of $M$ at $p$}、局所座標系またはパラメータ化^{parameterization}と呼ぶ。

• $\mathbf{x}_{\alpha}(U_{\alpha})$を$p \in M$での座標近傍^{coordinate neighborhood}という。

• 条件3.のインデックスファミリー$\left\{ \left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right) \right\}$を$M$上の微分可能な構造^{differentiable structure on $M$}

• $p \in M$に対して、$\mathbf{x}_{\alpha}^{-1}(p) = \left( x_{1}(p), \dots, x_{n}(p) \right)$を満たす$x_{i}$を座標関数^{coordinate function}と呼ぶ。

1番. $M$は完全に任意の集合で与えられるため(つまり一般的に距離空間ではないため)$\mathbf{x}_{\alpha}$が微分可能か否かについて議論することはできない。また、$M$は複数のイメージの併合集合であるため、それぞれの交わり$W = \mathbf{x}_{\alpha}\left( U_{\alpha} \right) \cap \mathbf{x}_{\beta}\left( U_{\beta} \right)$で適当に良好な条件が必要であり、ここではそれを微分可能という条件で与えたものである。

一方で写像$\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha}$の条件によって多様体が様々な名前で呼ばれることになる。例えば微分の代わりに連続という条件が与えられると$M$は位相多様体^{topological manifold}となる。正則という条件が与えられると$M$は複素多様体^{complex manifold}となる。また、$\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha} \in C^{k}$の場合、$M$は$C^{k}$多様体と呼ばれる。微分幾何学では微分という道具で幾何学を説明したいので、微分可能な多様体を扱うことになる。

3番. この内容は技術的な部分であり、二つの微分可能な構造が同じか異なるかなどの話を避けるために存在する条件である。1と2を満たすそのようなものをすべて集めるとしているので、「これなんかはどう？」とか「これも入ってる？」というつっこみをしないでという意味で考えるといいだろう。

例

ユークリッド空間 $\mathbb{R}^{n}$

$$ \mathbb{R}^{n} = \left\{ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) : x_{i} \in \mathbb{R} \right\} $$

多様体は局所的にユークリッド空間に似た空間として説明されることもあるので、$\mathbb{R}^{n}$が微分可能な多様体であることは当然といえば当然の事実である。${\rm id}$を恒等作用素とする。

1. 微分可能な構造を$\left\{ \left( U_{\alpha}, {\rm id} \right) | U_{\alpha} \subset \mathbb{R}^{n} \text{ is open.} \right\}$のようにすると成立する。

2. 恒等作用素は微分可能であるため成立する。

3. これらのすべての順序対に対してインデックスファミリー$\left\{ \left( U_{\alpha}, {\rm id} \right)\right\}$を構成する。

すると$\left( \mathbb{R}^{n}, \left\{ {\rm id} \right\} \right)$は微分可能な多様体である。

自然にユークリッド空間の任意の開部分集合$U \subset \mathbb{R}^{n}$は$\left\{ U, \operatorname{id} \right\}$を微分可能な構造として持つため、微分多様体となる。したがって、ある集合が微分多様体であることを示すためには、その集合がユークリッド空間の開部分集合であることを示せばよい。

2次元球面 $\mathbb{S}^{2}$

$$ \mathbb{S}^{2} = \left\{ p \in \mathbb{R}^{3} : \left\| p \right\|=1 \right\} $$

2次元球面は次のように6つの座標片で表現できる。$(u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\}$について、

座標片	定義	逆
$\mathbf{x}_{1} = \mathbf{x}_{(0,0,1)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(0,0,1)}(u, v) = \left( u, v , \sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right)$	$\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1}(x, y, z) = (x,y)$
$\mathbf{x}_{2} = \mathbf{x}_{(0,0,-1)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(0,0,-1)}(u, v) = \left( u, v , -\sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right)$	$\mathbf{x}_{(0,0,-1)}^{-1}(x, y, z) = (x,y)$
$\mathbf{x}_{3} = \mathbf{x}_{(0,1,0)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(0,1,0)}(u, v) = \left( u, \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right)$	$\mathbf{x}_{(0,1,0)}^{-1}(x, y, z) = (x,z)$
$\mathbf{x}_{4} = \mathbf{x}_{(0,-1,0)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(0,-1,0)}(u, v) = \left( u, -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right)$	$\mathbf{x}_{(0,-1,0)}^{-1}(x, y, z) = (x,z)$
$\mathbf{x}_{5} = \mathbf{x}_{(1,0,0)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(1,0,0)}(u, v) = \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right)$	$\mathbf{x}_{(1,0,0)}^{-1}(x, y, z) = (y,z)$
$\mathbf{x}_{6} = \mathbf{x}_{(-1,0,0)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(-1,0,0)}(u, v) = \left( -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right)$	$\mathbf{x}_{(-1,0,0)}^{-1}(x, y, z) = (y,z)$

1. $\bigcup \limits_{i=1}^6 \mathbf{x}_{i} = \mathbb{S}^{2}$が成立する。

2. $\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \circ \mathbf{x}_{(1,0,0)}$は次のようであるため微分可能である。

$$\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \circ \mathbf{x}_{(1,0,0)}(u,v) = \mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right) = \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u \right) \in C^{\infty}$$

3. この方法で1と2を満たす可能なすべての順序対を集めてインデックスファミリー$\left\{ \left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right) \right\}$を構成する。

すると、$\left( \mathbb{S}^{2} , \left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\} \right)$は微分可能な多様体である。