logo

微分可能な多様体 📂幾何学

微分可能な多様体

定義1

1.PNG

MMを任意の集合、UαRnU_{\alpha} \subset \mathbb{R}^{n}開集合とする。関数111-1 xα:UαM\mathbf{x}_{\alpha} : U_{\alpha} \to Mに対して、以下の条件を満たす順序対(M,{xα}αA)\left( M, \left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha\in \mathscr{A}} \right)、または簡単にMMを**nn次元の微分可能多様体**dimension nnの differentiable manifoldと定義する。

  1. αxα(Uα)=M\bigcup \limits_{\alpha} \mathbf{x}_{\alpha} \left( U_{\alpha} \right) = M
  2. W=xα(Uα)xβ(Uβ)\varnothing \ne W = \mathbf{x}_{\alpha}\left( U_{\alpha} \right) \cap \mathbf{x}_{\beta}\left( U_{\beta} \right)に対して、写像xβ1xα:xα1(W)xβ1(W)\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha} : \mathbf{x}_{\alpha}^{-1}(W) \to \mathbf{x}_{\beta}^{-1}(W)微分可能であること。
  3. 条件1および2を満たす可能なすべてのα\alphaに対して、指数族{(Uα,xα)}\left\{ \left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right) \right\}を構成する。

説明

  • 単に微分多様体または滑らかな多様体とも言う。nn次元の微分多様体は、時にMnM^{n}と表記する。

  • pxα(Uα)p \in \mathbf{x}_{\alpha}(U_{\alpha})のとき、(Uα,xα)\left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right)または単にxα\mathbf{x}_{\alpha}MMppにおける座標系MM at ppの system of coordinates局所座標系、またはパラメータ化と呼ぶ。

  • xα(Uα)\mathbf{x}_{\alpha}(U_{\alpha})pMp \in Mにおける座標近傍と呼ぶ。

  • 条件3.の指数族{(Uα,xα)}\left\{ \left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right) \right\}MM上の微分可能構造と呼ぶ。

  • pMp \in Mに対して、xα1(p)=(x1(p),,xn(p))\mathbf{x}_{\alpha}^{-1}(p) = \left( x_{1}(p), \dots, x_{n}(p) \right)を満たすxix_{i}座標関数と呼ぶ。

  1. MMは完全に任意の集合として与えられる(つまり、通常は距離空間ではない)ので、xα\mathbf{x}_{\alpha}微分可能かどうかについての議論ができない。さらに、MMは様々なイメージの合併であるため、各交差点W=xα(Uα)xβ(Uβ)W = \mathbf{x}_{\alpha}\left( U_{\alpha} \right) \cap \mathbf{x}_{\beta}\left( U_{\beta} \right)で適切に良い条件が必要であり、ここではそれを微分可能であるという条件で与えられている。

    写像xβ1xα\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha}の条件によって、多様体が様々な名前で呼ばれることになる。例えば、微分の代わりに連続であるという条件が与えられた場合、MM位相多様体になる。正則という条件が与えられた場合、MM複素多様体になる。また、xβ1xαCk\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha} \in C^{k}の場合、MMCkC^{k}多様体と呼ばれる。微分幾何学では、微分という道具を使って幾何学を説明したいため、微分可能な多様体が扱われる。

  2. この内容は技術的な部分であり、二つの微分可能構造が同じか違うか等の話を避けるために存在する条件である。1および2を満たすそのようなものすべてが集められていると仮定した方が良い。「こんなのはどうだ?」「これも含まれるか?」といったタックルをかけないで欲しいという意味である。

ユークリッド空間 Rn\mathbb{R}^{n}

Rn={(x1,x2,,xn):xiR} \mathbb{R}^{n} = \left\{ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) : x_{i} \in \mathbb{R} \right\}

多様体が局所的にユークリッド空間と似ているため、Rn\mathbb{R}^{n}が微分可能な多様体であることは自然なことである。id{\rm id}恒等作用素とする。

  1. 微分可能構造を{(Uα,id)UαRn is open.}\left\{ \left( U_{\alpha}, {\rm id} \right) | U_{\alpha} \subset \mathbb{R}^{n} \text{ is open.} \right\}のようにすると成立する。

  2. 恒等作用素は微分可能なので成立する。

  3. このようなすべての順序対に対して、指数族{(Uα,id)}\left\{ \left( U_{\alpha}, {\rm id} \right)\right\}を構成する。

したがって、(Rn,{id})\left( \mathbb{R}^{n}, \left\{ {\rm id} \right\} \right)は微分可能な多様体である。

2次元球面 S2\mathbb{S}^{2}

S2={pR3:p=1} \mathbb{S}^{2} = \left\{ p \in \mathbb{R}^{3} : \left\| p \right\|=1 \right\}

2次元球面は、以下のように6つの座標パッチ表現できる(u,v)U={(u,v):u2+v2<1}(u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\}について、

座標パッチ定義
x1=x(0,0,1):UR3\mathbf{x}_{1} = \mathbf{x}_{(0,0,1)} : U \to \R^{3}x(0,0,1)(u,v)=(u,v,1u2v2)\mathbf{x}_{(0,0,1)}(u, v) = \left( u, v , \sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right)x(0,0,1)1(x,y,z)=(x,y)\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1}(x, y, z) = (x,y)
x2=x(0,0,1):UR3\mathbf{x}_{2} = \mathbf{x}_{(0,0,-1)} : U \to \R^{3}x(0,0,1)(u,v)=(u,v,1u2v2)\mathbf{x}_{(0,0,-1)}(u, v) = \left( u, v , -\sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right)x(0,0,1)1(x,y,z)=(x,y)\mathbf{x}_{(0,0,-1)}^{-1}(x, y, z) = (x,y)
x3=x(0,1,0):UR3\mathbf{x}_{3} = \mathbf{x}_{(0,1,0)} : U \to \R^{3}x(0,1,0)(u,v)=(u,1u2v2,v)\mathbf{x}_{(0,1,0)}(u, v) = \left( u, \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right)x(0,1,0)1(x,y,z)=(x,z)\mathbf{x}_{(0,1,0)}^{-1}(x, y, z) = (x,z)
x4=x(0,1,0):UR3\mathbf{x}_{4} = \mathbf{x}_{(0,-1,0)} : U \to \R^{3}x(0,1,0)(u,v)=(u,1u2v2,v)\mathbf{x}_{(0,-1,0)}(u, v) = \left( u, -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right)x(0,1,0)1(x,y,z)=(x,z)\mathbf{x}_{(0,-1,0)}^{-1}(x, y, z) = (x,z)
x5=x(1,0,0):UR3\mathbf{x}_{5} = \mathbf{x}_{(1,0,0)} : U \to \R^{3}x(1,0,0)(u,v)=(1u2v2,u,v)\mathbf{x}_{(1,0,0)}(u, v) = \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right)x(1,0,0)1(x,y,z)=(y,z)\mathbf{x}_{(1,0,0)}^{-1}(x, y, z) = (y,z)
x6=x(1,0,0):UR3\mathbf{x}_{6} = \mathbf{x}_{(-1,0,0)} : U \to \R^{3}x(1,0,0)(u,v)=(1u2v2,u,v)\mathbf{x}_{(-1,0,0)}(u, v) = \left( -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right)x(1,0,0)1(x,y,z)=(y,z)\mathbf{x}_{(-1,0,0)}^{-1}(x, y, z) = (y,z)
  1. i=16xi=S2\bigcup \limits_{i=1}^6 \mathbf{x}_{i} = \mathbb{S}^{2}が成立する。

  2. x(0,0,1)1x(1,0,0)\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \circ \mathbf{x}_{(1,0,0)}は次のようになるため、微分可能である。

x(0,0,1)1x(1,0,0)(u,v)=x(0,0,1)1(1u2v2,u,v)=(1u2v2,u)C\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \circ \mathbf{x}_{(1,0,0)}(u,v) = \mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right) = \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u \right) \in C^{\infty}

  1. この方法で1, 2を満たすすべての順序対を集め、指数族{(Uα,xα)}\left\{ \left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right) \right\}を構成する。

したがって、(S2,{xα})\left( \mathbb{S}^{2} , \left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\} \right)は微分可能な多様体である。


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (英語版, 1992), p2-3 ↩︎