📂幾何学

微分可能な多様体

定義¹

$M$を任意の集合、$U_{\alpha} \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合とする。関数$1-1$ $\mathbf{x}_{\alpha} : U_{\alpha} \to M$に対して、以下の条件を満たす順序対$\left( M, \left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha\in \mathscr{A}} \right)$、または簡単に$M$を**$n$次元の微分可能多様体**^{dimension $n$の differentiable manifold}と定義する。

1. $\bigcup \limits_{\alpha} \mathbf{x}_{\alpha} \left( U_{\alpha} \right) = M$
2. $\varnothing \ne W = \mathbf{x}_{\alpha}\left( U_{\alpha} \right) \cap \mathbf{x}_{\beta}\left( U_{\beta} \right)$に対して、写像$\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha} : \mathbf{x}_{\alpha}^{-1}(W) \to \mathbf{x}_{\beta}^{-1}(W)$が微分可能であること。
3. 条件1および2を満たす可能なすべての$\alpha$に対して、指数族$\left\{ \left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right) \right\}$を構成する。

説明

• 単に微分多様体または滑らかな多様体とも言う。$n$次元の微分多様体は、時に$M^{n}$と表記する。

• $p \in \mathbf{x}_{\alpha}(U_{\alpha})$のとき、$\left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right)$または単に$\mathbf{x}_{\alpha}$を$M$の$p$における座標系^{$M$ at $p$の system of coordinates}、局所座標系、またはパラメータ化と呼ぶ。

• $\mathbf{x}_{\alpha}(U_{\alpha})$を$p \in M$における座標近傍と呼ぶ。

• 条件3.の指数族$\left\{ \left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right) \right\}$を$M$上の微分可能構造と呼ぶ。

• $p \in M$に対して、$\mathbf{x}_{\alpha}^{-1}(p) = \left( x_{1}(p), \dots, x_{n}(p) \right)$を満たす$x_{i}$を座標関数と呼ぶ。

1. $M$は完全に任意の集合として与えられる(つまり、通常は距離空間ではない)ので、$\mathbf{x}_{\alpha}$が微分可能かどうかについての議論ができない。さらに、$M$は様々なイメージの合併であるため、各交差点$W = \mathbf{x}_{\alpha}\left( U_{\alpha} \right) \cap \mathbf{x}_{\beta}\left( U_{\beta} \right)$で適切に良い条件が必要であり、ここではそれを微分可能であるという条件で与えられている。

   写像$\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha}$の条件によって、多様体が様々な名前で呼ばれることになる。例えば、微分の代わりに連続であるという条件が与えられた場合、$M$は位相多様体になる。正則という条件が与えられた場合、$M$は複素多様体になる。また、$\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha} \in C^{k}$の場合、$M$は$C^{k}$多様体と呼ばれる。微分幾何学では、微分という道具を使って幾何学を説明したいため、微分可能な多様体が扱われる。

2. この内容は技術的な部分であり、二つの微分可能構造が同じか違うか等の話を避けるために存在する条件である。1および2を満たすそのようなものすべてが集められていると仮定した方が良い。「こんなのはどうだ?」「これも含まれるか?」といったタックルをかけないで欲しいという意味である。

例

ユークリッド空間 $\mathbb{R}^{n}$

$$ \mathbb{R}^{n} = \left\{ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) : x_{i} \in \mathbb{R} \right\} $$

多様体が局所的にユークリッド空間と似ているため、$\mathbb{R}^{n}$が微分可能な多様体であることは自然なことである。${\rm id}$を恒等作用素とする。

1. 微分可能構造を$\left\{ \left( U_{\alpha}, {\rm id} \right) | U_{\alpha} \subset \mathbb{R}^{n} \text{ is open.} \right\}$のようにすると成立する。

2. 恒等作用素は微分可能なので成立する。

3. このようなすべての順序対に対して、指数族$\left\{ \left( U_{\alpha}, {\rm id} \right)\right\}$を構成する。

したがって、$\left( \mathbb{R}^{n}, \left\{ {\rm id} \right\} \right)$は微分可能な多様体である。

2次元球面 $\mathbb{S}^{2}$

$$ \mathbb{S}^{2} = \left\{ p \in \mathbb{R}^{3} : \left\| p \right\|=1 \right\} $$

2次元球面は、以下のように6つの座標パッチで表現できる。$(u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\}$について、

座標パッチ	定義	逆
$\mathbf{x}_{1} = \mathbf{x}_{(0,0,1)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(0,0,1)}(u, v) = \left( u, v , \sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right)$	$\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1}(x, y, z) = (x,y)$
$\mathbf{x}_{2} = \mathbf{x}_{(0,0,-1)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(0,0,-1)}(u, v) = \left( u, v , -\sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right)$	$\mathbf{x}_{(0,0,-1)}^{-1}(x, y, z) = (x,y)$
$\mathbf{x}_{3} = \mathbf{x}_{(0,1,0)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(0,1,0)}(u, v) = \left( u, \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right)$	$\mathbf{x}_{(0,1,0)}^{-1}(x, y, z) = (x,z)$
$\mathbf{x}_{4} = \mathbf{x}_{(0,-1,0)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(0,-1,0)}(u, v) = \left( u, -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right)$	$\mathbf{x}_{(0,-1,0)}^{-1}(x, y, z) = (x,z)$
$\mathbf{x}_{5} = \mathbf{x}_{(1,0,0)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(1,0,0)}(u, v) = \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right)$	$\mathbf{x}_{(1,0,0)}^{-1}(x, y, z) = (y,z)$
$\mathbf{x}_{6} = \mathbf{x}_{(-1,0,0)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(-1,0,0)}(u, v) = \left( -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right)$	$\mathbf{x}_{(-1,0,0)}^{-1}(x, y, z) = (y,z)$

1. $\bigcup \limits_{i=1}^6 \mathbf{x}_{i} = \mathbb{S}^{2}$が成立する。

2. $\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \circ \mathbf{x}_{(1,0,0)}$は次のようになるため、微分可能である。

$$\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \circ \mathbf{x}_{(1,0,0)}(u,v) = \mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right) = \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u \right) \in C^{\infty}$$

3. この方法で1, 2を満たすすべての順序対を集め、指数族$\left\{ \left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right) \right\}$を構成する。

したがって、$\left( \mathbb{S}^{2} , \left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\} \right)$は微分可能な多様体である。