📂微分積分学

曲線の長さ

平面曲線の長さ¹

ビルドアップ

図(a)のように滑らかな関数$y=f(x)$が与えられており、その上に$n+1$個の点があるとする。曲線の全長$s$は、点によって分割された各弧の長さ$s_{k}$を全部足して得られる。また、各弧の長さは図(b)のように二点間の長さで近似できる。点が増えるほど、この近似された長さの合計は実際の長さ$L$に近くなるだろう。したがって、次の式を得る。

$$L = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} \left| P_{i-1}P_{i} \right|$$

この時、各成分の長さはピタゴラスの定理により下記の通りである。

$$\left| P_{i-1}P_{i} \right| = \sqrt{(x_{i} - x_{i-1})^{2} + (y_{i} - y_{i-1})^{2}} = \left( \Delta x_{i} \right)^{2} + \left( \Delta y_{i} \right)^{2}$$

また、平均値の定理により、次の式が成立する$x_{i}^{\ast} \in (x_{i-1}, x_{i})$が存在することがわかる。

$$\begin{align*} f(x_{i}) - f(x_{i-1}) =&\ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \left( x_{i} - x_{i-1} \right) \\ \Delta y_{i} =&\ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \Delta x_{i} \end{align*}$$

したがって、各線分の長さは下記の通りである。

$$\begin{align*} \left| P_{i-1}P_{i} \right| =&\ \left( \Delta x_{i} \right)^{2} + \left( \Delta y_{i} \right)^{2} \\ =&\ \left( \Delta x_{i} \right)^{2} + \left[ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \right]^{2} \left( \Delta x_{i} \right)^{2} \\ =&\ \sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \right]^{2}} \Delta x_{i} \end{align*}$$

すると、曲線の長さ$L$は下記の通りである。

$$L = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} \left| P_{i-1}P_{i} \right| = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} \sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (x_{i}^{\ast}) \right]^{2}} \Delta x_{i}$$

この時$\sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (x) \right]^{2}}$が連続であるため、リーマン和の極限が存在し、積分可能である。したがって、曲線の長さを下記のように定義する。

定義

$f^{\prime}$が$[a,b]$で連続である場合($f$が滑らかな関数である場合)、曲線$y=f(x)$の長さ$L$を以下のように定義する。

$$L := \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (x) \right]^{2}} dx = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \dfrac{d y}{d x} \right)^{2}} dx$$

これにより、時点$P_{0}(a, f(a))$から点$Q(x,f(x))$までの曲線の長さを表す関数、すなわち弧の長さ関数を自然に以下のように定義する。

$$s(x) = \int_{a}^{x} \sqrt{1 + \left[ f^{\prime} (t) \right]^{2}} dt$$

したがって、$\dfrac{d s}{d x} = \sqrt{1 + [f^{\prime}(x)]^{2}} = \sqrt{1 + \left( \dfrac{d y}{d x} \right)^{2}}$が成立し、曲線の長さを以下のように示すことができる。

$$L = \int_{C} ds = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \dfrac{d y}{d x} \right)^{2}} dx$$

定理

曲線$C$が媒介変数方程式$x = f(t), y=g(t), \alpha \le t \le \beta$で表されるとしよう。$f^{\prime}, g^{\prime}$が$[\alpha, \beta]$で連続である場合($f, g$が滑らかな関数である場合)、曲線$C$の長さは以下の通りである。

$$L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left( \dfrac{d x}{d t} \right)^{2} + \left( \dfrac{d y}{d t} \right)^{2}} dt$$

証明

$a = x(\alpha), b = x(\beta)$としよう。仮定により$\dfrac{d y}{d x} = \dfrac{\dfrac{d y}{d t}}{\dfrac{d x}{d t}}$が成り立つ。したがって、

$$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \dfrac{d y}{d x} \right)^{2}} dx = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{1 + \left(\dfrac{\dfrac{d y}{d t}}{\dfrac{d x}{d t}} \right)^{2}} \dfrac{d x}{d t} dt = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\dfrac{d x}{d t}\right)^{2} + \left(\dfrac{d y}{d t}\right)^{2}}dt$$

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空間曲線の長さ²

上でビルドアップしたように、３次元空間に置かれた曲線が$\mathbf{r}(t) = \left( f(t), g(t), h(t) \right)$として表現される時、曲線の長さは以下のように定義される。

$$\begin{align*} L =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{\left[ f^{\prime}(t) \right]^{2} + \left[ g^{\prime}(t) \right]^{2} + \left[ h^{\prime}(t) \right]^{2}} dt \\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ \left( \dfrac{d x}{d t} \right)^{2} + \left( \dfrac{d y}{d t} \right)^{2} + \left( \dfrac{d z}{d t} \right)^{2} } dt \\ =&\ \int_{a}^{b} \left| \mathbf{r}^{\prime}(t) \right| dt \end{align*}$$

同様に、弧の長さ関数は以下の通りである。

$$s(t) = \int_{a}^{t} \left| \mathbf{r}^{\prime}(u) \right| du = \int_{a}^{t} \sqrt{ \left( \dfrac{d x}{d u} \right)^{2} + \left( \dfrac{d y}{d u} \right)^{2} + \left( \dfrac{d z}{d u} \right)^{2} } du$$