📂偏微分方程式

ディリクレ境界条件

定義¹

開集合$\Omega$で定義された偏微分方程式が与えられたとする。以下の境界条件をディリクレ境界条件^{Dirichlet boundary condition}と呼ぶ。ディリクレ境界条件が与えられた偏微分方程式の解を見つける問題をディリクレ問題^{Dirichlet problem}という。

$$u = 0 \quad \text{on } \partial \Omega$$

説明

非同次条件

以下のような境界条件を非同次ディリクレ条件^{nonhomogeneous Dirichlet condition}ということがあるが、通常、同次か非同次かを厳密に表記することはない。

$$u = g \quad \text{on } \partial \Omega$$

例

例えば、ポアソン方程式でディリクレ問題を解くことは、以下を満たす$u$を見つけることである。

$$\left\{ \begin{align*} -\Delta u = f & \quad \text{in } \Omega \\ u = 0 & \quad \text{on }\partial \Omega \end{align*} \right.$$

参照

• 境界値問題
• ノイマン境界条件
• ロビン境界条件