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輸送方程式 📂偏微分方程式

輸送方程式

定義1

以下の偏微分方程式輸送方程式という。

ut+bDu=0in Rn×(0, ) \begin{equation} u_{t} + b \cdot Du=0\quad \text{in }\mathbb{R}^n \times (0,\ \infty) \end{equation}

  • b=(b1,b2,,bn)Rnb=(b_{1}, b_2, \cdot, b_{n}) \in \mathbb{R}^nは固定されたベクトル
  • u=u(x,t)u=u(x,t)u:Rn×[0,)Ru:\mathbb{R}^n \times [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}
  • x=(x1,,xn)Rnx=(x_{1}, \cdots , x_{n})\in \mathbb{R}^n
  • t0t \ge 0は時間
  • Du=Dxu=(ux1,,uxn)Du=D_{x}u=(u_{x_{1}}, \cdots ,u_{x_{n}})は空間変数xxについてのuuグラジエント

説明

uC1u \in C^1(1)(1)の解だとしよう。すると、固定された点(x,t)(x,t)を通る(b,1)(b,1)方向の線で、(x+sb, t+s)=(x, t)+s(b, 1)(x+sb,\ t+s)=(x,\ t)+s(b,\ 1)上ではuuは定数だ。つまり、u(x+sb, t+s)u(x+sb,\ t+s)ssの値に関係ない。これは以下のような過程で確認できる。zzを以下のように定義しよう。

z(s):=u(x+sb, t+s)(sR) z(s):=u(x+sb,\ t+s)\quad (s \in \mathbb{R})

dz(s)ds=0\dfrac{dz(s)}{ds}=0であることを示せばよい。

z˙(s)=dzds=uxdxds+utdtds=u(x+sb, t+s)xd(x+sb)ds+ut(x+sb, t+s)=Du(x+sb, t+s)b+ut(x+sb, t+s)=0 \begin{align*} \dot{z}(s) &= \dfrac{dz}{ds} \\ &= \dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{d x}{d s} + \dfrac{\partial u}{\partial t}\dfrac{d t}{d s} \\ &= \dfrac{\partial u(x+sb,\ t+s)}{\partial x}\cdot\dfrac{d(x+sb)}{ds}+u_{t}(x+sb,\ t+s) \\ &= Du(x+sb,\ t+s) \cdot b +u_{t}(x+sb,\ t+s) \\ &= 0 \end{align*}

uu(1)(1)を満たすので、最後の等式が成立する。

参照


  1. ローレンス・C・エバンス, Partial Differential Equations (第2版, 2010), p18 ↩︎