輸送方程式
📂偏微分方程式輸送方程式
定義
以下の偏微分方程式を輸送方程式という。
ut+b⋅Du=0in Rn×(0, ∞)
- b=(b1,b2,⋅,bn)∈Rnは固定されたベクトル
- u=u(x,t)はu:Rn×[0,∞)→R
- x=(x1,⋯,xn)∈Rn
- t≥0は時間
- Du=Dxu=(ux1,⋯,uxn)は空間変数xについてのuのグラジエント
説明
u∈C1が(1)の解だとしよう。すると、固定された点(x,t)を通る(b,1)方向の線で、(x+sb, t+s)=(x, t)+s(b, 1)上ではuは定数だ。つまり、u(x+sb, t+s)はsの値に関係ない。これは以下のような過程で確認できる。zを以下のように定義しよう。
z(s):=u(x+sb, t+s)(s∈R)
dsdz(s)=0であることを示せばよい。
z˙(s)=dsdz=∂x∂udsdx+∂t∂udsdt=∂x∂u(x+sb, t+s)⋅dsd(x+sb)+ut(x+sb, t+s)=Du(x+sb, t+s)⋅b+ut(x+sb, t+s)=0
uは(1)を満たすので、最後の等式が成立する。
参照