線形変換の行列表現
定義1
$V, W$を有限次元 ベクトル空間としよう。$\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$と$\gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{m} \right\}$をそれぞれ$V$と$W$の順序基底としよう。$T : V \to W$を線形変換としよう。すると、基底表現の一意性により、次を満たすスカラー$a_{ij}$が唯一に存在する。
$$ T(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{m}a_{ij}\mathbf{w}_{i} = a_{1j}\mathbf{w}_{1} + \cdots + a_{mj}\mathbf{w}_{m} \quad \text{ for } 1 \le j \le n $$
この時、$A_{ij} = a_{ij}$で定義される$m \times n$行列$A$を順序基底$\beta$と$\gamma$に対する$T$の行列表現matrix representation for $T$ relative to the basis $\beta$ and $\gamma$と呼び、$[T]_{\gamma, \beta}$または$[T]_{\beta}^{\gamma}$と表記する。
説明
すべての線形変換は行列で表せられ、逆に行列に対応する線形変換が存在して、線形変換や線形変換の行列表現は本質的に同じである。線形代数学で行列を学ぶ理由の一つがこれである。定義からこのような行列表現は基底の像imageを利用して見つけることができる。
$V=W$であり、$\beta=\gamma$ならば、簡単に次のように表記する。
$$ [T]_{\beta} = [T]_{\gamma, \beta} $$
性質
$V, W$を順序基底$\beta, \gamma$が与えられた有限次元ベクトル空間としよう。そして$T, U : V \to W$としよう。すると次が成立する。
$[T + U]_{\beta}^{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} + [U]_{\beta}^{\gamma}$
$[aT]_{\beta}^{\gamma} = a[T]_{\beta}^{\gamma}$
$T$とその逆変換$T^{-1}$について次が成立する。$\\[0.6em]$
- $T$が可逆であることは$[T]_{\beta}^{\gamma}$が可逆であることと同値である。さらに$[T^{-1}]_{\beta}^{\gamma} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^{-1}$である。
$V, W, Z$を有限次元ベクトル空間、$\alpha, \beta, \gamma$をそれぞれの順序基底としよう。そして$T : V \to W$、$U : W \to Z$を線形変換としよう。すると次が成立する。$\\[0.6em]$
- $[UT]_{\alpha}^{\gamma} = [U]_{\beta}^{\gamma}[T]_{\alpha}^{\beta}$
行列の見つけ方1
$V$の基底を$\beta$、$W$の基底を$\gamma$としよう。そして$\mathbf{x} \in V$の座標ベクトルを$[\mathbf{x}]_{\beta}$、$T(\mathbf{x})\in W$の座標ベクトルを$[T(\mathbf{x})]_{\gamma}$としよう。
すると私たちの目標は$\mathbb{R}^{n}$ベクトル$[\mathbf{x}]_{\beta}$を行列積によって$\mathbb{R}^{m}$ベクトル$[T(\mathbf{x})]_{\gamma}$に変える$m \times n$行列$A$を見つけることである。$A$を見つければ、与えられた$T$に従って具体的に$T(\mathbf{x})$を計算せずに行列積の計算で線形変換$T$を実行できる。
$$ \begin{equation} A[\mathbf{x}]_{\beta} = [T(\mathbf{x})]_{\gamma} \end{equation} $$
二つの基底を具体的に$\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$、$\gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{m} \right\}$としよう。すると各$\mathbf{v}_{i}$に対して$(1)$が成立するため、次を得る。
$$ \begin{equation} A[\mathbf{v}_{1}]_{\beta} = [T(\mathbf{v}_{1})]_{\gamma},\quad A[\mathbf{v}_{2}]_{\beta} = [T(\mathbf{v}_{2})]_{\gamma},\quad \dots,\quad A[\mathbf{v}_{n}]_{\beta} = [T(\mathbf{v}_{n})]_{\gamma} \end{equation} $$
行列$A$を次のようにしよう。
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
$[\mathbf{v}_{i}]_{\beta}$たちは次のようになる。
$$ [\mathbf{v}_{1}]_{\beta} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \quad [\mathbf{v}_{2}]_{\beta} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \dots,\quad [\mathbf{v}_{n}]_{\beta} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} $$
従って次を得る。
$$ \begin{align*} A[\mathbf{v}_{1}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} \\[3em] A[\mathbf{v}_{2}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix} \\[1em] &\vdots \\[1em] A[\mathbf{v}_{n}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} \end{align*} $$
すると$(2)$によって次を得る。
$$ [T(\mathbf{v}_{1})]_{\gamma} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix},\quad [T(\mathbf{v}_{2})]_{\gamma} = \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix},\quad \dots,\quad [T(\mathbf{v}_{n})]_{\gamma} = \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} $$
したがって行列$A$の$j$番目の列は$[T(\mathbf{v}_{j})]_{\gamma}$である。
$$ A = \begin{bmatrix} [T(\mathbf{v}_{1})]_{\gamma} & [T(\mathbf{v}_{2})]_{\gamma} & \cdots & [T(\mathbf{v}_{n})]_{\gamma}\end{bmatrix} $$
従って次の式が成立する。
$$ [T]_{\gamma, \beta} [\mathbf{x}]_{\beta} = [T(\mathbf{x})]_{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma}[\mathbf{x}]_{\beta} $$
これは直感的に隣接する（または下添字で重複する）2つの$\beta$を相殺し、$\mathbf{x}$を$T$に代入したものと見ることができる。