📂線形代数

可逆線型変換の空間の性質

定理¹

$\Omega$のすべての可逆線形変換の集合を考えよう。

$$ \Omega = \left\{ \text{all invertible linear operator on } \mathbb{R}^{n} \right\} $$

• (a) $T_{1} \in \Omega$と$T_{2} \in L(\mathbb{R}^{n})$に対して、次が成り立つならば、$T_{2} \in \Omega$である。

  $$ \| T_{2} - T_{1} \| \| T_{1}^{-1} \| < 1 $$

  ここで、$\| T \|$は線形変換のノルムである。

• (b) $h \gt 0$に対して、以下が成り立つ: $$ \| T^{-1} \| \le \dfrac{1}{h} \iff \| T \mathbf{x} \| \ge h | \mathbf{x} |\quad \forall \mathbf{x} $$

• (c) $\Omega$は開集合である。

• (d) 以下のように与えられた$f : \Omega \to \Omega$は連続である：

  $$ f( T ) = T^{-1} $$

証明

(a)

$T_{1} \in \Omega$と$T_{2} \in L(\mathbb{R}^{n})$に対して、次が成り立つとする。

$$ \| T_{2} - T_{1} \| \| T_{1}^{-1} \| < 1 $$

$\| T_{1}^{-1} \| = \dfrac{1}{\alpha}, \| T_{2} - T_{1} \| = \beta$としよう。すると、仮定によって$\beta < \alpha$が成り立つ。線形変換のノルムの性質により、すべての$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$に対して、以下が成り立つ。

$$ \begin{align*} \alpha | \mathbf{x} | &= \alpha | T_{1}^{-1}( T_{1} ( \mathbf{x})) | \\ &\le \alpha \| T_{1}^{-1} \| | T_{1} (\mathbf{x}) | \\ &= \alpha \dfrac{1}{\alpha} | T_{1} (\mathbf{x}) | = | T_{1} (\mathbf{x}) | \\ &= | T_{1} (\mathbf{x}) - T_{2}(\mathbf{x}) + T_{2}(\mathbf{x}) | \\ &\le | T_{1} (\mathbf{x}) - T_{2}(\mathbf{x}) | + | T_{2}(\mathbf{x}) | \\ &\le \| T_{1} - T_{2} \| |\mathbf{x}| + | T_{2}(\mathbf{x}) | \\ &= \beta |\mathbf{x}| + | T_{2}(\mathbf{x}) | \end{align*} $$

したがって、以下を得る：

$$ \begin{equation} (\alpha - \beta) | \mathbf{x} | \le | T_{2} ( \mathbf{x} ) |,\quad \forall \mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n} \end{equation} $$

この時、$\alpha - \beta > 0$であるから、以下が成り立つ。

$$ \mathbf{x} \ne \mathbf{0} \implies T_{2}(\mathbf{x}) \ne \mathbf{0} $$

これは線形変換が単射であるための同値条件であるため、$T_{2}$は単射であり、したがって可逆変換である。

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$$ \| T^{-1} \| \le \dfrac{1}{h} \iff \| T \mathbf{x} \| \ge h | \mathbf{x} |\quad \forall \mathbf{x} $$

(b)

• $(\Longrightarrow)$

  $\| T^{-1} \| \le \dfrac{1}{h}$とする。そうすると、

  $$ \begin{align*} && \| T^{-1} \| &\le \dfrac{1}{h} \\ \implies && h \| T^{-1} \| &\le 1 \\ \implies && h \| T^{-1} \| | T \mathbf{x} | &\le | T \mathbf{x} | \\ \implies && h |T^{-1} T \mathbf{x} | \le h \| T^{-1} \| | T \mathbf{x} | &\le | T \mathbf{x} | \\ \implies && h | \mathbf{x} | &\le | T \mathbf{x} | \\ \end{align*} $$

• $(\Longleftarrow)$

  $$ \begin{align*} && | T \mathbf{x} | &\ge h | \mathbf{x} | \\ && \| T \| | T \mathbf{x} | &\ge h | \mathbf{x} | \\ \implies && \| T^{-1} \| | T \mathbf{x} | &\ge h \| T^{-1} \| | \mathbf{x} | \\ \implies && \| T^{-1} \| | T \mathbf{x} | &\ge h \| T^{-1} \| | \mathbf{x} | \\ \end{align*} $$

(c)

(a) によると、以下を満たすすべての$T_{2} \in L(\mathbb{R}^{n})$は$T_{2} \in \Omega$である。

$$ d(T_{1}, T_{2}) = \| T_{1} - T_{2} \| < \alpha $$

したがって、すべての$T_{1} \in \Omega$は$\Omega$の部分集合となる近傍を持つため、内点である。$\Omega$のすべての要素が内点であるため、$\Omega$は開集合である。

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(d)

合成を以下のように簡潔に表記しよう。

$$ T_{2} \circ T_{1} = T_{2}T_{1} $$

$(1)$を$\mathbf{x} = T_{2}^{-1}(\mathbf{y})$に置換しよう。

$$ \begin{align*} && (\alpha - \beta) | T_{2}^{-1}(\mathbf{y})| &\le | T_{2} ( T_{2}^{-1}(\mathbf{y}) ) | = | \mathbf{y} |,\quad \forall \mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n} \\ \implies && | T_{2}^{-1}(\mathbf{y})| &\le \dfrac{1}{\alpha - \beta}|\mathbf{y}| \end{align*} $$

すると、線形変換のノルムの性質によって、以下が成り立つ。

$$ \| T_{2} ^{-1} \| \le \dfrac{1}{\alpha - \beta} $$

さらに、以下が成り立つ。

$$ T_{2}^{-1} - T_{1}^{-1} = T_{2}^{-1}( T_{1} - T_{2} ) T_{1}^{-1} $$

すると、積のノルムはノルムの積より大きいため、以下が成り立つ。

$$ \| T_{2}^{-1} - T_{1}^{-1} \| \le \| T_{2}^{-1} \| \| T_{1} - T_{2} \| \| T_{1}^{-1}\| \le \dfrac{\beta }{\alpha (\alpha-\beta)} $$

だから、$d(T_{1}, T_{2}) = \|T_{2} - T_{1} \| =\beta \to 0$の時、$d(T_{1}^{-1}, T_{2}^{-1})=\|T_{2}^{-1} - T_{1}^{-1}\| \to 0$であるので、$T \mapsto T^{-1}$の写像は連続である。

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