📂フーリエ解析

離散フーリエ逆変換

公式¹

$\mathbf{a} = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{N-1}) \in \mathbb{C}^{N}$の離散フーリエ変換を$\hat{\mathbf{a}} = (\hat{a}_{0}, \hat{a}_{1}, \dots, \hat{a}_{N-1}) \in \mathbb{C}^{N}$としよう。

$$\mathcal{F}_{N}(\mathbf{a}) = \hat{\mathbf{a}},\quad \hat{a}_{m}=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-i2\pi mn /N}a_{n}$$

すると、次が成り立つ。

$$a_{n} = \dfrac{1}{N} \sum \limits_{m=0}^{N-1} e^{i 2 \pi m n / N} \hat{a}_{m}$$

説明

これを離散フーリエ変換の逆変換公式という。

証明

補題

$m = 0, 1, \dots, N-1$に対して、次のようにおく。

$$\mathbf{e}_{m} = \left( 1, e^{i 2\pi m/N}, e^{i 2\pi 2m/N}, \dots, e^{i 2\pi (N-1)m/N} \right)$$

すると、$\left\{ \mathbf{e}_{m} \right\}_{m=0}^{N-1}$は$\mathbb{C}^{N}$の基底であり、$\left\| \mathbf{e}_{m} \right\|^{2} = N$が成り立つ。

補題により、任意の$\mathbf{a} \in \mathbb{C}^{N}$に対して、次が成り立つ。

$$\mathbf{a} = \dfrac{1}{N} \sum _{m=0}^{N-1} \left\langle \mathbf{a}, \mathbf{e}_{m} \right\rangle \mathbf{e}_{m}$$

内積$\left\langle \mathbf{a}, \mathbf{e}_{m} \right\rangle$を計算すると、離散フーリエ変換の定義によって、次のようになる。

$$\left\langle \mathbf{a}, \mathbf{e}_{m} \right\rangle = \sum _{n=0}^{N-1} a_{n}e^{i 2\pi nm/ N} = \hat{a}_{m}$$

これを上の式に代入すると、次を得る。

$$\mathbf{a} = \dfrac{1}{N} \sum _{m=0}^{N-1} \hat{a}_{m} \mathbf{e}_{m}$$

$$a_{n} = \dfrac{1}{N} \sum _{m=0}^{N-1} e^{i 2\pi m n / N} \hat{a}_{m}$$

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