📂フーリエ解析

サンプリング定理

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物理的なシグナル $f$が時間 $t_{1} < t_{2} < t_{3} < \cdots$に従って測定されているとしよう。$f(t_{1}), f(t_{2}), \dots$を知っていたとしても、一般には任意の $f(t)$ の値を知ることはできない。しかし、ここでシグナル $f$が特定の範囲内の周波数のみを含むと仮定してみよう。つまり、ある定数 $\Omega$よりも小さい周波数のみを含むシグナル $f$を考えるわけだが、このような $f$を 帯域限定シグナル^{band-limited signal, 周波数限定シグナル}と呼ぶ。

フーリエ解析の言葉で言うと、$\hat{f}(\omega)$が $|\omega| \ge \Omega$の領域では関数値が全て $0$であるというのと同じことだ。 したがって、$f$が帯域限定である条件は $\hat{f} (\omega) = 0\ \text{for } | \omega | \ge \Omega$という条件と同等であり、$\hat{f} \in L^{1}$を意味する。このような条件の下では、以下のような強力な定理が成立する。

定理

$f\in L^{2}$であり、$\hat{f} (\omega) = 0\ \text{for } | \omega | \ge \Omega$であると仮定する。すると、$f(t)$は $n\pi / \Omega (n=0, \pm 1, \pm 2, \dots)$の値から決定される。つまり、以下が成立する。

$$ f(t) = \sum \limits_{n = -\infty}^{\infty} f \left( \dfrac{n\pi}{\Omega}\right) \dfrac{\sin (\Omega t -n\pi )}{\Omega t - n\pi} $$

説明

これを サンプリング定理^{sampling theorem}と呼ぶ。サンプリング定理は、可算個の関数値 $f \left( \dfrac{n\pi}{\Omega}\right)$だけで全ての $t$に対する $f(t)$を決定できる条件を提供する。

信号解析の観点からサンプリング定理を見ると、$\hat{f} (\omega) = 0\ \text{for } | \omega | \ge \Omega$という条件は信号 $f$の周波数が限定されているということと同じだ。

一方、周波数関数 $\hat{f} \in L^{2}$と時間限定シグナル^{time-limited signal} $f(t)$に対しても同様の式が成立する。

周波数サンプリング定理

$\hat{f} \in L^{2}$であり、$f (t) = 0\ \text{for } | t | \ge L$であると仮定する。すると $\hat{f}(\omega)$は $n\pi / L(n=0, \pm 1, \pm 2, \dots)$の値から決定される。つまり、以下が成立する。

$$ \hat{f}(\omega) = \sum \limits_{n = -\infty}^{\infty} \hat{f} \left( \dfrac{n\pi}{L}\right) \dfrac{\sin (L \omega -n\pi )}{L \omega - n\pi} $$

証明は時間サンプリング定理と同じだ。

証明

$\hat{f} \in L^{1}$であるため、$\hat{f}$はフーリエ級数で表現可能である。$\hat{f} (\omega)$は $[-\Omega, \Omega]$で定義されているため、複素フーリエ級数は以下のようになる。

$$ \begin{equation} \hat{f}(\omega)=\sum_{-\infty}^{\infty} c_{-n} e^{-i n \pi \omega / \Omega} \quad(|\omega| \leq \Omega) \label{eq1} \end{equation} $$

証明過程での便宜のために、$n$を $-n$と表記した。係数 $c_{-n}$は以下のようになる。

$$ \begin{align*} c_{-n} &= \dfrac{1}{2 \Omega} \int_{-\Omega}^{\Omega} \hat{f}(\omega) e^{i n \pi \omega / \Omega} d \omega \\ &= \dfrac{1}{2 \Omega} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) e^{i n \pi \omega / \Omega} d \omega \\ &= \dfrac{\pi}{\Omega} \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) e^{i \omega (n \pi / \Omega)} d\omega \end{align*} $$

$\hat{f} (\omega) = 0\ for\ | \omega | \ge \Omega$であるため、$\hat{f} (\omega) \in L^{2}$であり、フーリエ逆変換定理により以下が成立する。

$$ \begin{equation} f(t) =\dfrac{1}{2\pi} \int _{-\infty} ^{\infty}\hat{f}(\omega) e^{i\omega t}d\omega \label{eq2} \end{equation} $$

したがって、以下の式を得る。

$$ \begin{align*} c_{-n} &= \dfrac{\pi}{\Omega} \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) e^{i \omega (n \pi / \Omega)} d\omega \\ &= \dfrac{\pi}{\Omega} f \left( \dfrac{n\pi}{\Omega}\right) \end{align*} $$

これを $\eqref{eq1}$に代入すると、以下を得る。

$$ \hat{f}(\omega) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_{-n} e^{-i n \pi \omega / \Omega} \quad(|\omega| \leq \Omega) = \sum_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\pi}{\Omega} f \left( \dfrac{n\pi}{\Omega}\right) e^{-i n \pi \omega / \Omega} \quad(|\omega| \leq \Omega) $$

再びこれを $\eqref{eq2}$に代入すると、以下の式を得る。

$$ \begin{align*} f(t) &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) e^{i \omega t} d \omega = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\Omega}^{\Omega} \hat{f}(\omega) e^{i \omega t} d \omega \\ &=\frac{1}{2 \Omega} \int_{-\Omega}^{\Omega} \sum_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) e^{-i n \pi \omega / \Omega} e^{i \omega t} d \omega \end{align*} $$

関数空間では、内積が定積分で定義され、内積が連続であるために極限を外に出すことができるので、上記の式は以下のようになる。

$$ \begin{align*} f(t) &= \frac{1}{2 \Omega} \int_{-\Omega}^{\Omega} \sum_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) e^{-i n \pi \omega / \Omega} e^{i \omega t} d \omega \\ &= \frac{1}{2 \Omega} \left\langle \sum_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) e^{-i n \pi \omega / \Omega}, e^{-i \omega t} \right\rangle \\ &= \frac{1}{2 \Omega} \sum_{-\infty}^{\infty} \left\langle f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) e^{-i n \pi \omega / \Omega}, e^{-i \omega t} \right\rangle \\ &= \frac{1}{2 \Omega} \sum_{-\infty}^{\infty} \int_{-\Omega}^{\Omega} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) e^{-i n \pi \omega / \Omega} e^{i \omega t} d \omega \\ &= \frac{1}{2 \Omega} \sum_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) \int_{-\Omega}^{\Omega} e^{-i n \pi \omega / \Omega} e^{i \omega t} d \omega \end{align*} $$

上記の積分を計算すると、以下のようになる。

$$ \begin{align*} \int_{-\Omega}^{\Omega} e^{-i n \pi \omega / \Omega} e^{i \omega t} d \omega &= \int_{-\Omega}^{\Omega} e^{i(\Omega t- n \pi )\omega/\Omega} d \omega \\ &= \left. \frac{e^{i(\Omega t-n \pi) \omega / \Omega}}{i(\Omega t-n \pi) / \Omega}\right|_{-\Omega} ^{\Omega} \\ &= \frac{1}{i(\Omega t-n \pi) / \Omega}\left[ e^{i(\Omega t-n \pi)} - e^{-i(\Omega t-n \pi)} \right] \\ &= \frac{2}{(\Omega t-n \pi) / \Omega}\dfrac{ e^{i(\Omega t-n \pi)} - e^{-i(\Omega t-n \pi)}}{2i} \\ &= \frac{2 \sin (\Omega t-n \pi)}{(\Omega t-n \pi) / \Omega} \end{align*} $$

代入して整理すると、以下のようになる。

$$ \begin{align*} f(t) &= \frac{1}{2 \Omega} \sum_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) \int_{-\Omega}^{\Omega} e^{-i n \pi \omega / \Omega} e^{i \omega t} d \omega \\ &= \frac{1}{2 \Omega} \sum_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) \frac{2 \sin (\Omega t-n \pi)}{(\Omega t-n \pi) / \Omega} \\ &= \sum_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n \pi}{\Omega}\right) \frac{2 \sin (\Omega t-n \pi)}{\Omega t-n \pi} \end{align*} $$

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