指数関数の微分法
式
$$ \begin{equation} \dfrac{d e^{x}}{dx} = e^{x} \label{fml1} \end{equation} $$
指数合成関数の導関数は次の通りである。
$$ \begin{equation} \dfrac{d \left( e^{f(x)} \right)}{dx} = f^{\prime}(x)e^{f(x)} \label{fml2} \end{equation} $$
説明
指数関数は導関数と自分自身が同じ唯一の関数である。
導出
(1)
導関数の定義を利用して計算すると次のようになる。
$$ \begin{align*} \dfrac{d e^{x}}{d x} &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^{x+h}-e^{x}}{h} \\ &= e^{x}\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^{h}-1}{h} \\ &= e^{x} \end{align*} $$
最後の等号は$\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{ e^{x} - 1}{x} = 1$によって成り立つ。
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(2)
連鎖律により次の通りである。
$$ \begin{align*} \dfrac{d e^{f(x)}}{d x} &= \dfrac{d e^{f(x)}}{d f(x)} \dfrac{d f(x)}{d x} \\ &= e^{f(x)} f^{\prime}(x) \\ &= f^{\prime}(x) e^{f(x)} \end{align*} $$
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