回転面の性質
📂幾何学回転面の性質
概要
曲線 α(t)=(r(t),z(t))をz−軸に対して回転させて得られた回転面をxとしよう。
x(t,θ)=(r(t)cosθ,r(t)sinθ,z(t))
回転面の様々な性質について説明する。
性質
読みやすさのため、r=r(t)、z=z(t)を以下のようにする。
x1x2x11x12=x21x22=xt=(r˙cosθ,r˙sinθ,z˙)=xθ=(−rsinθ,rcosθ,0)=xtt=(r¨cosθ,r¨sinθ,z¨)=xtθ=(−r˙sinθ,r˙cosθ,0)=xθθ=(−rcosθ,−rsinθ,0)
n=rr˙2+z˙21(−rz˙cosθ,−rz˙sinθ,rr˙)
[gij]=[r˙2+z˙200r2]
[gkl]=r˙2+z˙2100r21
[Lij]=r˙2+z˙21[r˙z¨−z˙r¨00rz˙]
[Lij]=r˙2+z˙21r˙2+z˙2r˙z¨−z˙r¨00rz˙
K=det(L)=(r˙2+z˙2)2(r˙z¨−z˙r¨)rz˙
証明
単位法線ベクトル
x1×x2=(r˙cosθ,r˙sinθ,z˙)×(−rsinθ,rcosθ,0)=(−rz˙cosθ,rz˙sinθ,rr˙)
n=∣x1×x2∣x1×x2=rr˙2+z˙21(−rz˙cosθ,−rz˙sinθ,rr˙)
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第1基本形式
g11=gtt=⟨xt,xt⟩=(r˙cosθ,r˙sinθ,z˙)⋅(r˙cosθ,r˙sinθ,z˙)=r˙2+z˙2
g12=g21=gtθ=⟨xt,xθ⟩=(r˙cosθ,r˙sinθ,z˙)⋅(−rsinθ,rcosθ,0)=0
g22=gθθ=⟨xθ,xθ⟩=(−rsinθ,rcosθ,0)⋅(−rsinθ,rcosθ,0)=r2
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第2基本形式
L11=Ltt=⟨xtt,n⟩=rr˙2+z˙21(r¨cosθ,r¨sinθ,z¨)⋅(−rz˙cosθ,−rz˙sinθ,rr˙)=rr˙2+z˙21(−rr¨z˙cos2θ−rr¨z˙sin2θ+rr˙z¨)=r˙2+z˙21(rr˙z¨−r¨z˙)
L12=L21=Ltθ=⟨xtθ,n⟩=rr˙2+z˙21(−r˙sinθ,r˙cosθ,0)⋅(−rz˙cosθ,−rz˙sinθ,rr˙)=rr˙2+z˙21(rr˙z˙cosθsinθ−rr˙z˙cosθsinθ)=0
L22=Lθθ=⟨xθθ,n⟩=rr˙2+z˙21(−rcosθ,−rsinθ,0)⋅(−rz˙cosθ,−rz˙sinθ,rr˙)=rr˙2+z˙21(r2z˙cos2θ+r2z˙sin2θ)=r˙2+z˙21(rz˙)
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ワインガルテンマップ
[Lij]=[L11L21L12L22]=[gli][Lik]=r˙2+z˙21r˙2+z˙2100r21[r˙z¨−z˙r¨00rz˙]=r˙2+z˙21r˙2+z˙2r˙z¨−z˙r¨00rz˙
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