様々な関数空間

定義

関数の集合 $X$ がベクトル空間である場合、$X$を関数空間^{function space}と呼ぶ。

関数空間 $X$ では、内積は以下のように積分で定義される。

$$ \langle f, g \rangle = \int f(x) g(x) dx,\quad f,g\in X $$

主に扱う関数空間には、次のものがある。

連続関数空間 $C^{m}$
$$ C^{m}(\mathbb{R}) : =\left\{ f \in C(\mathbb{R}) : f^{(n)} \text{ is continuous } \forall n \le m \right\} $$
- テスト関数空間 $C_{c}^{\infty} = \mathcal{D}$
- シュワルツ空間 $\mathcal{S}$
- ヘルダー連続関数空間
ルベーグ空間 $L^{p}$
$$ L^{p} (E) : = \left\{ f : \int_{E} | f |^{p} dm < \infty \right\} $$
- 重み付きルベーグ空間
収束数列空間 $\ell^{p}$
ソボレフ空間 $W^{m,\ p}$
$$ W^{m,\ p}(\Omega):=\left\{ u \in L^p(\Omega)\ :\ D^\alpha u \in L^p(\Omega),\ 0\le |\alpha | \le m \right\} $$