📂行列代数

ガウス-ジョルダン消去法

定義¹

拡大行列が次の条件を満たす場合、行段階形^{echelon form}と言います。

• $0$じゃない要素がある行で、最初に現れる$0$じゃない数が$1$である。これを先導1^{leading 1}と呼びます。

• 全ての要素が$0$の行は、最も下に置きます。

• $0$じゃない要素がある行が連続している場合、上の行の先導1が下の行の先導1より左にある必要があります。

行段階形の行列がさらに下記の条件を満たす場合、簡約行段階形^{reduced echelon form}と言います。

• 先導1がある列の他の要素が全て$0$である。

次の行列は簡約行段階形です。

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

次の行列は行段階形ですが、簡約行段階形ではありません。

$$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

与えられた線形システムの拡大行列に基本行操作を行い、簡約行段階形を作るプロセスをガウス・ジョルダン消去法^{Gauss-Jordan elimination}と呼びます。簡約行段階形を作る過程で、先導1の下部分を全て$0$にすることを前進^forward、上部を全て$0$にすることを後退^backwordと言います。

性質

• すべての行列は唯一の簡約行段階形を持ちます。つまり、どんな順番で基本行操作を行っても、同じ簡約行段階形の行列が得られます。

• 行段階形は一意ではありません。つまり、基本行操作の順序によって異なる行段階形が得られます。

• 行段階形の全ての要素が$0$の行の数は互いに同じであり、先導1の位置も互いに同じです。これらの位置をピボット^pivot位置と呼びます。

一般解²

線形システムが無数に多くの解を持つ場合、パラメーターを代入して解を得られるパラメーター方程式の集合を線形システムの一般解^{general solution}と言います。

例えば、ある線形システムの拡大行列を基本行操作で次のような簡約行段階形に変形したとします。

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

その場合、パラメーター方程式は次のようになります。

$$x = -1 -3t,\quad y = 2 + 4t, \quad z = t$$

この時、先導1に対応する変数 $x,y$を先導変数^{leading variable}、その他の変数 $z$を自由変数^{free variable}と呼びます。