ANOVA表 (アノバひょう)
📂統計的検定ANOVA表 (アノバひょう)
定義
分散分析において要約された結果を示す表をアノバテーブルANOVA tableと言う。実験計画に応じてアノバテーブルの形態は少し異なる。
完全ランダム化設計
Source | df | SS | MS | F |
---|
Treatments | k−1 | SST | MST | MST/MSE |
Error | n−k | SSE | MSE | |
Total | n−1 | TSS | | |
ランダム化ブロック設計
Source | df | SS | MS | F |
---|
Treatments | k−1 | SST | MST | MST/MSE |
Blocks | b−1 | SSB | MSB | |
Error | (k−1)(b−1) | SSE | MSE | |
Total | n−1 | TSS | | |
説明
アノバテーブルは分散分析でF統計量を求める過程を示している。学部生の視点では初めて学ぶ時、単純な暗記や計算問題のように見えるが、ある程度勉強して再び見ると、結局カイ二乗分布に従う二つの数値を作り、F分布に従う値を得ることに過ぎない。中間や期末試験では空欄補完問題として設定されるため難しいと感じるが、実は重要なのはテーブルの右上に位置するF統計量に他ならない。
計算方法
具体的にアノバテーブルの数値を計算しよう。完全ランダム化実験ではk個の処理があり、j番目の処理でnj個の標本x1j,⋯,xnjjを得たとする。全体標本の数n=n1+⋯+nkに対して標本平均をxˉ=∑ijxij/nとする時、総二乗和total sum of squares TSSは次の通りである。
TSS=j=1∑ki=1∑nj(xij−xˉ)2
総計grand total G=∑ijxijに対して平均に対する補正correction for the mean CMは次の通りである。
CM=n1j=1∑ki=1∑nj(xij)2=n2G
処理に対する二乗和sum of squares for treatments SSTは次のように処理j=1,⋯,kごとの標本平均 xˉjで得る。
SST=j=1∑knj(xˉj−xˉ)2
誤差に対する二乗和sum of squares for error SSEは次のように処理j=1,⋯,kごとの標本分散 sj2で得られる合同行動として求められる。
SSE=(n1−1)s12+⋯+(nk−1)sk2=TSS−SST
平均二乗mean squares MSは各二乗和SSを自由度 dfで割った値MS=SS/dfである。
MST=MSE=k−1SSTn−kSSE
最後にF統計量は次のようにMSTとMSEの比で算出される。
F=MSEMST=SSE/(n−k)SST/(k−1)
ランダム化ブロック設計下ではブロックの数bが追加され、ブロックに対する二乗和sum of squares for blocks SSBと平均二乗MSBが追加され、MSEの自由度が(b−1)(k−1)に変わる点が異なる。
SSB=MSB=MSE=F=i=1∑b(xi−xˉ)2b−1SSB(b−1)(k−1)SSEMSEMST=SSE/(b−1)(k−1)SST/(k−1)=SSE/(b−1)SST