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ANOVA表 (アノバひょう) 📂統計的検定

ANOVA表 (アノバひょう)

定義 1

分散分析において要約された結果を示す表をアノバテーブルANOVA tableと言う。実験計画に応じてアノバテーブルの形態は少し異なる。

完全ランダム化設計

SourcedfSSMSF
Treatmentsk1k-1SSTMSTMST/MSE
Errornkn-kSSEMSE
Totaln1n-1TSS

ランダム化ブロック設計

SourcedfSSMSF
Treatmentsk1k-1SSTMSTMST/MSE
Blocksb1b-1SSBMSB
Error(k1)(b1)(k-1)(b-1)SSEMSE
Totaln1n-1TSS

説明

アノバテーブルは分散分析でFF統計量を求める過程を示している。学部生の視点では初めて学ぶ時、単純な暗記や計算問題のように見えるが、ある程度勉強して再び見ると、結局カイ二乗分布に従う二つの数値を作り、F分布に従う値を得ることに過ぎない。中間や期末試験では空欄補完問題として設定されるため難しいと感じるが、実は重要なのはテーブルの右上に位置するF統計量に他ならない。

計算方法

具体的にアノバテーブルの数値を計算しよう。完全ランダム化実験ではkk個の処理があり、jj番目の処理でnjn_{j}個の標本x1j,,xnjjx_{1 j} , \cdots , x_{n_{j} j}を得たとする。全体標本の数n=n1++nkn = n_{1} + \cdots + n_{k}に対して標本平均xˉ=ijxij/n\bar{x} = \sum_{ij} x_{ij} / nとする時、総二乗和total sum of squares TSS\text{TSS}は次の通りである。 TSS=j=1ki=1nj(xijxˉ)2 \text{TSS} = \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{n_{j}} \left( x_{ij} - \bar{x} \right)^{2} 総計grand total G=ijxijG = \sum_{ij} x_{ij}に対して平均に対する補正correction for the mean CM\text{CM}は次の通りである。 CM=1nj=1ki=1nj(xij)2=Gn2 \text{CM} = {\frac{ 1 }{ n }} \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{n_{j}} \left( x_{ij} \right)^{2} = {\frac{ G }{ n^{2} }} 処理に対する二乗和sum of squares for treatments SST\text{SST}は次のように処理j=1,,kj = 1 , \cdots , kごとの標本平均 xˉj\bar{x}_{j}で得る。 SST=j=1knj(xˉjxˉ)2 \text{SST} = \sum_{j=1}^{k} n_{j} \left( \bar{x}_{j} - \bar{x} \right)^{2} 誤差に対する二乗和sum of squares for error SSE\text{SSE}は次のように処理j=1,,kj = 1 , \cdots , kごとの標本分散 sj2s_{j}^{2}で得られる合同行動として求められる。 SSE=(n11)s12++(nk1)sk2=TSSSST \text{SSE} = \left( n_{1} - 1 \right) s_{1}^{2} + \cdots + \left( n_{k} - 1 \right) s_{k}^{2} = \text{TSS} - \text{SST} 平均二乗mean squares MSMSは各二乗和SSSS自由度 df\text{df}で割った値MS=SS/dfMS = SS / \text{df}である。 MST=SSTk1MSE=SSEnk \begin{align*} \text{MST} =& {\frac{ \text{SST} }{ k - 1 }} \\ \text{MSE} =& {\frac{ \text{SSE} }{ n - k }} \end{align*} 最後にFF統計量は次のようにMSTMSTMSEMSEの比で算出される。 F=MSTMSE=SST/(k1)SSE/(nk) F = {\frac{ \text{MST} }{ \text{MSE} }} = {\frac{ \text{SST} / (k - 1) }{ \text{SSE} / (n - k) }}

ランダム化ブロック設計下ではブロックの数bbが追加され、ブロックに対する二乗和sum of squares for blocks SSB\text{SSB}と平均二乗MSB\text{MSB}が追加され、MSEMSEの自由度が(b1)(k1)(b-1)(k-1)に変わる点が異なる。 SSB=i=1b(xixˉ)2MSB=SSBb1MSE=SSE(b1)(k1)F=MSTMSE=SST/(k1)SSE/(b1)(k1)=SSTSSE/(b1) \begin{align*} \text{SSB} =& \sum_{i=1}^{b} \left( x_{i} - \bar{x} \right)^{2} \\ \text{MSB} =& {\frac{ \text{SSB} }{ b - 1 }} \\ \text{MSE} =& {\frac{ \text{SSE} }{ (b-1)(k-1) }} \\ F =& {\frac{ \text{MST} }{ \text{MSE} }} = {\frac{ \text{SST}/ (k - 1) }{ \text{SSE} / (b-1)(k-1) }} = {\frac{ \text{SST}}{ \text{SSE} / (b-1) }} \end{align*}


  1. Mendenhall. (2012). Introduction to Probability and Statistics (13th Edition): p452. ↩︎