📂統計的検定

ANOVA表 (アノバひょう)

定義 ¹

分散分析において要約された結果を示す表をアノバテーブル^{ANOVA table}と言う。実験計画に応じてアノバテーブルの形態は少し異なる。

完全ランダム化設計

Source	df	SS	MS	F
Treatments	$k-1$	SST	MST	MST/MSE
Error	$n-k$	SSE	MSE
Total	$n-1$	TSS

ランダム化ブロック設計

Source	df	SS	MS	F
Treatments	$k-1$	SST	MST	MST/MSE
Blocks	$b-1$	SSB	MSB
Error	$(k-1)(b-1)$	SSE	MSE
Total	$n-1$	TSS

説明

アノバテーブルは分散分析で$F$統計量を求める過程を示している。学部生の視点では初めて学ぶ時、単純な暗記や計算問題のように見えるが、ある程度勉強して再び見ると、結局カイ二乗分布に従う二つの数値を作り、F分布に従う値を得ることに過ぎない。中間や期末試験では空欄補完問題として設定されるため難しいと感じるが、実は重要なのはテーブルの右上に位置するF統計量に他ならない。

計算方法

具体的にアノバテーブルの数値を計算しよう。完全ランダム化実験では$k$個の処理があり、$j$番目の処理で$n_{j}$個の標本$x_{1 j} , \cdots , x_{n_{j} j}$を得たとする。全体標本の数$n = n_{1} + \cdots + n_{k}$に対して標本平均を$\bar{x} = \sum_{ij} x_{ij} / n$とする時、総二乗和^{total sum of squares} $\text{TSS}$は次の通りである。 $$ \text{TSS} = \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{n_{j}} \left( x_{ij} - \bar{x} \right)^{2} $$ 総計^{grand total} $G = \sum_{ij} x_{ij}$に対して平均に対する補正^{correction for the mean} $\text{CM}$は次の通りである。 $$ \text{CM} = {\frac{ 1 }{ n }} \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{n_{j}} \left( x_{ij} \right)^{2} = {\frac{ G }{ n^{2} }} $$ 処理に対する二乗和^{sum of squares for treatments} $\text{SST}$は次のように処理$j = 1 , \cdots , k$ごとの標本平均 $\bar{x}_{j}$で得る。 $$ \text{SST} = \sum_{j=1}^{k} n_{j} \left( \bar{x}_{j} - \bar{x} \right)^{2} $$ 誤差に対する二乗和^{sum of squares for error} $\text{SSE}$は次のように処理$j = 1 , \cdots , k$ごとの標本分散 $s_{j}^{2}$で得られる合同行動として求められる。 $$ \text{SSE} = \left( n_{1} - 1 \right) s_{1}^{2} + \cdots + \left( n_{k} - 1 \right) s_{k}^{2} = \text{TSS} - \text{SST} $$ 平均二乗^{mean squares} $MS$は各二乗和$SS$を自由度 $\text{df}$で割った値$MS = SS / \text{df}$である。 $$ \begin{align*} \text{MST} =& {\frac{ \text{SST} }{ k - 1 }} \\ \text{MSE} =& {\frac{ \text{SSE} }{ n - k }} \end{align*} $$ 最後に$F$統計量は次のように$MST$と$MSE$の比で算出される。 $$ F = {\frac{ \text{MST} }{ \text{MSE} }} = {\frac{ \text{SST} / (k - 1) }{ \text{SSE} / (n - k) }} $$

ランダム化ブロック設計下ではブロックの数$b$が追加され、ブロックに対する二乗和^{sum of squares for blocks} $\text{SSB}$と平均二乗$\text{MSB}$が追加され、$MSE$の自由度が$(b-1)(k-1)$に変わる点が異なる。 $$ \begin{align*} \text{SSB} =& \sum_{i=1}^{b} \left( x_{i} - \bar{x} \right)^{2} \\ \text{MSB} =& {\frac{ \text{SSB} }{ b - 1 }} \\ \text{MSE} =& {\frac{ \text{SSE} }{ (b-1)(k-1) }} \\ F =& {\frac{ \text{MST} }{ \text{MSE} }} = {\frac{ \text{SST}/ (k - 1) }{ \text{SSE} / (b-1)(k-1) }} = {\frac{ \text{SST}}{ \text{SSE} / (b-1) }} \end{align*} $$