ヤンセンの不等式の有限形の証明
要旨
$I \subset \mathbb{R}$ で、凸関数 $f : I \to \mathbb{R}$ と $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} = 1, \lambda_{k}>0$ について
$$ \begin{align*} f( \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \cdots + \lambda_{n} x_{n} ) & \le \lambda_{1} f( x_{1}) + \lambda_{2} f( x_{2}) + \cdots + \lambda_{n} f( x_{n} ) \\ f\left( \sum\limits_{k=1}^{n}\lambda_{k}x_{k} \right) &\le \sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_{k} f(x_{k}) \end{align*} $$
$f$ が凹関数の場合は、反対の不等式が成り立つ。
$$ \begin{align*} f( \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \cdots + \lambda_{n} x_{n} ) & \ge \lambda_{1} f( x_{1}) + \lambda_{2} f( x_{2}) + \cdots + \lambda_{n} f( x_{n} ) \\ f\left( \sum\limits_{k=1}^{n}\lambda_{k}x_{k} \right) &\ge \sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_{k} f(x_{k}) \end{align*} $$
説明
イェンセンの不等式は、凸関数の代表的な応用として様々な分野で広く使われている。有限フォームは、もともと凸の定義から点の数と重みに関して一般化された形である。
証明
証明方法は同じなので、凸関数についてのみ証明する。
戦略：凸関数の定義を通して関数の内外に項を入れ、数学的帰納法を適用する。
凸関数の定義：区間 $I \subset \mathbb{R}$ の任意の2要素 $x_{1} , x_{2}$ と関数 $f : I \to \mathbb{R}$ と $0 \le t \le 1$ について、$f( t x_{1} + (1-t) x_{2}) \le t f(x_{1}) + (1-t) f(x_{2})$ ならば、$f$ を $I$ での凸関数という。
$n=1$ のとき $f$ は凸なので
$$ f( \lambda x ) \le \lambda f(x) $$
$n=2$ のとき $f$ は凸なので
$$ f( \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} ) \le \lambda_{1} f( x_{1} ) + \lambda_{2} f( x_{2}) $$
$n = N \ge 3$ で
$$ f( \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \cdots + \lambda_{N} x_{N} ) \le \lambda_{1} f( x_{1}) + \lambda_{2} f( x_{2}) + \cdots + \lambda_{N} f( x_{N} ) $$
これが成立すると仮定して、$n = N + 1$ でも成立することを示せば証明は完了する。
$\displaystyle \sum_{k=1}^{N+1} \lambda_{k} = 1$ で $\displaystyle \mu_{i} := {{\lambda_{i}} \over {1 - \lambda_{N+1}}}$ を定義すると $\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \mu_{k} = 1$ だから
$$ f( \mu_{1} x_{1} + \mu_{2} x_{2} + \cdots + \mu_{N} x_{N} ) \le \mu_{1} f( x_{1}) + \mu_{2} f( x_{2}) + \cdots + \mu_{N} f( x_{N} ) $$
$\mu_{i}$ の定義に従って
$$ f( {{\lambda_{1}} \over {1 - \lambda_{N+1}}} x_{1} + {{\lambda_{2}} \over {1 - \lambda_{N+1}}} x_{2} + \cdots + {{\lambda_{N}} \over {1 - \lambda_{N+1}}} x_{N} ) \\ \le {{\lambda_{1}} \over {1 - \lambda_{N+1}}} f( x_{1}) + {{\lambda_{2}} \over {1 - \lambda_{N+1}}} f( x_{2}) + \cdots + {{\lambda_{N}} \over {1 - \lambda_{N+1}}} f( x_{N} ) $$
$\displaystyle {{1} \over {1 - \lambda_{N+1}}}$ としてまとめると
$$ f \left( {{1} \over {1 - \lambda_{N+1}}} \left( \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \cdots + \lambda_{N} x_{N} \right) \right) \\ \le {{1} \over {1 - \lambda_{N+1}}} \left( \lambda_{1} f( x_{1}) + \lambda_{2} f( x_{2}) + \cdots + \lambda_{N} f( x_{N} ) \right) $$
両辺に $1 - \lambda_{N+1}$ を掛けると
$$ (1 - \lambda_{N+1}) f \left( {{1} \over {1 - \lambda_{N+1}}} \left( \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \cdots + \lambda_{N} x_{N} \right) \right) \\ \le \lambda_{1} f( x_{1}) + \lambda_{2} f( x_{2}) + \cdots + \lambda_{N} f( x_{N} ) $$
両辺に $\lambda_{N+1} f( x_{N+1} )$ を加えると
$$ (1 - \lambda_{N+1}) f \left( {{1} \over {1 - \lambda_{N+1}}} \left( \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \cdots + \lambda_{N} x_{N} \right) \right) + \lambda_{N+1} f (x_{N+1}) \\ \le \lambda_{1} f( x_{1}) + \lambda_{2} f( x_{2}) + \cdots + \lambda_{N} f( x_{N} ) + \lambda_{N+1} f( x_{N+1} ) $$
$( 1 - \lambda_{N+1} ) + \lambda_{N+1} = 1$ であり、$f$ は凸関数だから
$$ f \left( {{1 - \lambda_{N+1}} \over {1 - \lambda_{N+1}}} \left( \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \cdots + \lambda_{N} x_{N} \right) + \lambda_{N+1} x_{N+1} \right) \\ \le (1 - \lambda_{N+1}) f \left( {{1} \over {1 - \lambda_{N+1}}} \left( \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \cdots + \lambda_{N} x_{N} \right) \right) + \lambda_{N+1} f (x_{N+1}) $$
不等式を続けると
$$ f \left( \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \cdots + \lambda_{N} x_{N} + \lambda_{N+1} x_{N+1} \right) \\ \le (1 - \lambda_{N+1}) f \left( {{1} \over {1 - \lambda_{N+1}}} \left( \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \cdots + \lambda_{N} x_{N} \right) \right) + \lambda_{N+1} f (x_{N+1}) \\ \le \lambda_{1} f( x_{1}) + \lambda_{2} f( x_{2}) + \cdots + \lambda_{N} f( x_{N} ) + \lambda_{N+1} f( x_{N+1} ) $$
結論として、
$$ f( \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \cdots + \lambda_{N+1} x_{N+1} ) \le \lambda_{1} f( x_{1}) + \lambda_{2} f( x_{2}) + \cdots + \lambda_{N+1} f( x_{N+1} ) $$
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