ガンマ関数の1における微分係数
定理
ガンマ関数 $\Gamma$ とオイラー-マスケローニ定数 $\gamma$ について、以下が成立します。 $$ \Gamma ' (1) = - \gamma $$
証明 1
ガンマ関数の導関数と逆数の積: $$ {{ \Gamma ' (z) } \over { \Gamma (z) }} = - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left( {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { z + n - 1 }} \right) $$
ガンマ関数の導関数と逆数の積の形で $z = 1$ を代入すると $$ \begin{align*} {{ \Gamma ' (1) } \over { \Gamma (1) }} =& - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left( {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { 1 + n - 1 }} \right) \\ =& - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left( {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { n }} \right) \\ =& - \gamma + 0 \end{align*} $$ になり、$\Gamma (1) = 0! = 1$ なので $\Gamma ' (1) = - \gamma$ を得ます。
■