logo

ガンマ関数の1における微分係数 📂関数

ガンマ関数の1における微分係数

定理

ガンマ関数 Γ\Gamma とオイラー-マスケローニ定数 γ\gamma について、以下が成立します。 Γ′(1)=−γ \Gamma ' (1) = - \gamma

証明 1

ガンマ関数の導関数と逆数の積: Γ′(z)Γ(z)=−γ+∑n=1∞(1n−1z+n−1) {{ \Gamma ' (z) } \over { \Gamma (z) }} = - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left( {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { z + n - 1 }} \right)

ガンマ関数の導関数と逆数の積の形で z=1z = 1 を代入すると Γ′(1)Γ(1)=−γ+∑n=1∞(1n−11+n−1)=−γ+∑n=1∞(1n−1n)=−γ+0 \begin{align*} {{ \Gamma ' (1) } \over { \Gamma (1) }} =& - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left( {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { 1 + n - 1 }} \right) \\ =& - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left( {{ 1 } \over { n }} - {{ 1 } \over { n }} \right) \\ =& - \gamma + 0 \end{align*} になり、Γ(1)=0!=1\Gamma (1) = 0! = 1 なので Γ′(1)=−γ\Gamma ' (1) = - \gamma を得ます。

■

  1. https://proofwiki.org/wiki/Derivative_of_Gamma_Function_at_1 ↩︎