📂行列代数

正定値行列の逆行列と平方根行列

公式 ¹

正定値行列 $A$ の 固有対 $\left\{ \left( \lambda_{k} , e_{k} \right) \right\}_{k=1}^{n}$ が $\lambda_{1} > \cdots > \lambda_{n} > 0$ の順に整列されているとしよう。直交行列 $P = \begin{bmatrix} e_{1} & \cdots & e_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ と 対角行列 $\Lambda = \diag \left( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} \right)$ について、$A$ の 逆行列 $A^{-1}$ と 平方根行列 $\sqrt{A}$ は次の通りだ。 $$ \begin{align*} A^{-1} =& P \Lambda^{-1} P^{T} = \sum_{k=1}^{n} {{ 1 } \over { \lambda_{k} }} e_{k} e_{k}^{T} \\ \sqrt{A} =& P \sqrt{\Lambda} P^{T} = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\lambda_{k}} e_{k} e_{k}^{T} \end{align*} $$

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• $X^{T}$ は 行列 $X$ の 転置行列だ。

導出

スペクトル分解:

スペクトル理論: $A$ が エルミート行列であり、ユニタリ対角化可能であることは同等だ： $$ A = A^{\ast} \iff A = Q \Lambda Q^{\ast} $$

特に 統計学において、共分散行列は多くの場合 正定値行列であり、正定値行列はエルミート行列だ。共分散行列だけでなく、デザインマトリックス $X$ に対しても、$X^{T} X$ は 対称行列、特に $X \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ならばまた エルミート行列になる。これらの条件のもとで、$A$ はスペクトル理論により、正規直交 固有ベクトル $e_{1} , \cdots , e_{n}$ からなる $Q$ を得ることができ、再度記述すると次の通りだ。 $$ \begin{align*} & A \\ = & Q \Lambda Q^{\ast} \\ = & Q \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{1}^{\ast} \\ e_{2}^{\ast} \\ \vdots \\ e_{n}^{\ast} \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} e_{1} & e_{2} & \cdots & e_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} e_{1}^{\ast} \\ \lambda_{2} e_{2}^{\ast} \\ \vdots \\ \lambda_{n} e_{n}^{\ast} \end{bmatrix} \\ = & \lambda_{1} e_{1} e_{1}^{\ast} + \lambda_{2} e_{2} e_{2}^{\ast} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} e_{n}^{\ast} \\ = & \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} e_{k} e_{k}^{\ast} \end{align*} $$

$\Lambda$ が対角行列であるため、特に導出するものはない。$P$ が直交行列であるため、 $$ \begin{align*} A^{-1} =& \left( P \Lambda P^{T} \right)^{-1} \\ =& P^{-T} \Lambda^{-1} P^{-1} \\ =& P \Lambda^{-1} P^{T} \end{align*} $$ そして、単位行列 $I$ に関して次のような検算で $\sqrt{A}$ を得る。 $$ \begin{align*} & \left( P \sqrt{\Lambda} P^{T} \right) \left( P \sqrt{\Lambda} P^{T} \right) \\ =& P \sqrt{\Lambda} P^{T} P \sqrt{\Lambda} P^{T} \\ =& P \sqrt{\Lambda} I \sqrt{\Lambda} P^{T} \\ =& P \sqrt{\Lambda} \sqrt{\Lambda} P^{T} \\ =& P \Lambda P^{T} \\ =& A \end{align*} $$

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