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正定値行列の逆行列と平方根行列 📂行列代数

正定値行列の逆行列と平方根行列

公式 1

正定値行列 AA の 固有対 {(λk,ek)}k=1n\left\{ \left( \lambda_{k} , e_{k} \right) \right\}_{k=1}^{n} が λ1>⋯>λn>0\lambda_{1} > \cdots > \lambda_{n} > 0 の順に整列されているとしよう。直交行列 P=[e1⋯en]∈Rn×nP = \begin{bmatrix} e_{1} & \cdots & e_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times n} と 対角行列 Λ=diag⁡(λ1,⋯ ,λn)\Lambda = \diag \left( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} \right) について、AA の 逆行列 A−1A^{-1} と 平方根行列 A\sqrt{A} は次の通りだ。 A−1=PΛ−1PT=∑k=1n1λkekekTA=PΛPT=∑k=1nλkekekT \begin{align*} A^{-1} =& P \Lambda^{-1} P^{T} = \sum_{k=1}^{n} {{ 1 } \over { \lambda_{k} }} e_{k} e_{k}^{T} \\ \sqrt{A} =& P \sqrt{\Lambda} P^{T} = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\lambda_{k}} e_{k} e_{k}^{T} \end{align*}

導出

スペクトル分解:

スペクトル理論: AA が エルミート行列であり、ユニタリ対角化可能であることは同等だ： A=A∗  ⟺  A=QΛQ∗ A = A^{\ast} \iff A = Q \Lambda Q^{\ast}

特に 統計学において、共分散行列は多くの場合 正定値行列であり、正定値行列はエルミート行列だ。共分散行列だけでなく、デザインマトリックス XX に対しても、XTXX^{T} X は 対称行列、特に X∈Rm×nX \in \mathbb{R}^{m \times n} ならばまた エルミート行列になる。これらの条件のもとで、AA はスペクトル理論により、正規直交 固有ベクトル e1,⋯ ,ene_{1} , \cdots , e_{n} からなる QQ を得ることができ、再度記述すると次の通りだ。 A=QΛQ∗=Q[λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λn][e1∗e2∗⋮en∗]=[e1e2⋯en][λ1e1∗λ2e2∗⋮λnen∗]=λ1e1e1∗+λ2e2e2∗+⋯+λnenen∗=∑k=1nλkekek∗ \begin{align*} & A \\ = & Q \Lambda Q^{\ast} \\ = & Q \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{1}^{\ast} \\ e_{2}^{\ast} \\ \vdots \\ e_{n}^{\ast} \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} e_{1} & e_{2} & \cdots & e_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} e_{1}^{\ast} \\ \lambda_{2} e_{2}^{\ast} \\ \vdots \\ \lambda_{n} e_{n}^{\ast} \end{bmatrix} \\ = & \lambda_{1} e_{1} e_{1}^{\ast} + \lambda_{2} e_{2} e_{2}^{\ast} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} e_{n}^{\ast} \\ = & \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} e_{k} e_{k}^{\ast} \end{align*}

Λ\Lambda が対角行列であるため、特に導出するものはない。PP が直交行列であるため、 A−1=(PΛPT)−1=P−TΛ−1P−1=PΛ−1PT \begin{align*} A^{-1} =& \left( P \Lambda P^{T} \right)^{-1} \\ =& P^{-T} \Lambda^{-1} P^{-1} \\ =& P \Lambda^{-1} P^{T} \end{align*} そして、単位行列 II に関して次のような検算で A\sqrt{A} を得る。 (PΛPT)(PΛPT)=PΛPTPΛPT=PΛIΛPT=PΛΛPT=PΛPT=A \begin{align*} & \left( P \sqrt{\Lambda} P^{T} \right) \left( P \sqrt{\Lambda} P^{T} \right) \\ =& P \sqrt{\Lambda} P^{T} P \sqrt{\Lambda} P^{T} \\ =& P \sqrt{\Lambda} I \sqrt{\Lambda} P^{T} \\ =& P \sqrt{\Lambda} \sqrt{\Lambda} P^{T} \\ =& P \Lambda P^{T} \\ =& A \end{align*}

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  1. Johnson. (2013). Applied Multivariate Statistical Analysis(6th Edition): p104. ↩︎