📂動力学

ダイナミクスにおける各セグメントのスムーズなシステム

定義

ピースワイズスムースシステム

状態空間が$\mathbb{R}^{n}$で、変数$x \in \mathbb{R}^{n}$とパラメータ$\mu \in \mathbb{R}^{p}$について次のように表される動力学系を考えよう。 $$ \dot{x} = f \left( x ; \mu \right) \qquad x \in \mathbb{R}^{n} , \mu \in \mathbb{R}^{p} $$ ここで、有限個の開集合$S_{k} \subset \mathbb{R}^{n}$と$f$がスムース関数$F_{k} : S_{k} \to \mathbb{R}^{n}$について次を満たすなら、このシステムをピースワイズスムースシステム^{pWS, Piecewise Smooth system}という。 $$ f \left( x , \mu \right) = F_{k} \left( x , \mu \right) \qquad \forall (x,\mu) \in S_{k} \subset \mathbb{R}^{n} $$ $S_{i}$と$S_{j}$の間の領域$\Sigma_{ij}$は$(n-1)$次元微分多様体と仮定し、$F$は厳密な意味での関数ではなく、多価写像である可能性があると暗黙のうちに理解される。

スムースの度合い

十分にスムースな$F_{i}$と$F_{j}$について $$ F_{i}^{(k)} - F_{j}^{(k)} = {{ d^{k} } \over { d x^{k} }} F_{i} - {{ d^{k} } \over { d x^{k} }} F_{j} $$ を考える。どんな整数$d \ge 0$が存在して、$0 \le k < d$を満たすすべての$k$に対して、$\left( F_{i}^{(k)} - F_{j}^{(k)} \right)$が$\Sigma_{ij}$で連続関数であり、$\left( F_{i}^{(d)} - F_{j}^{(d)} \right)$が連続でないなら、$d$を$\Sigma_{ij}$におけるスムースの度合い^{degree of Smoothness}という。

説明 ¹

ダイナミクスの多くの理論は、常微分方程式の歴史とともに発展してきて、主にスムースな関数について多くの発展を遂げてきたが、実際の適用（特に制御に関連して）を行うと、その枠組みは破られることが多い。PWSは、成熟したノンスムースシステムを探求する前の一種の過渡期的な姿を示している。数学的には定義がやや曖昧かもしれないが、その表示はかなり明確で、伝達力に問題はないため、そのまま使用しても問題ない。有名な例として、次のように表されるDC-DCバックコンバータがある。 $$ \begin{align*} \dot{V} =& - {{ 1 } \over { RC }} V + {{ I } \over { C }} \\ \dot{I} =& - {{ V } \over { L }} + \begin{cases} 0 & , \text{if } V \ge V_{r} (t) \\ E / L & , \text{if } V < V_{r} (t) \end{cases} \\ V_{r} (t) =& \gamma + \eta \left( t \mod T \right) \end{align*} $$ このシステムは一目でノンスムースシステムだが、それがPWSの定義に合致するか…なんて言葉遊びは実際そんなに重要ではない。

スムースの度合い

通常、度と訳されるDegreeだが、ここではスムースの度合いという表現がその概念にほぼ一致する。簡単に言えば、$\dot{x} = f(x)$を何回微分すれば不連続点が生じるかを説明することになる。参考文献では $$ \dot{x} = - \sign x $$ の$\Sigma_{12} = \left\{ x = 0 \right\}$では$d = 0$であり、 $$ \dot{x} = - \left| x \right| $$ の$\Sigma_{12} = \left\{ x = 0 \right\}$では$d = 1$であるとされる。同様に、これらの主張は、符号関数$\sign$の定義や絶対値の微分可能性を念入りに検討して出された説明ではない。直感的に受け入れて先に進もう。