多変量正規分布の線形変換
📂確率分布論多変量正規分布の線形変換
定理
線形変換の正規性
行列 A∈Rm×n と ベクトル b∈Rm について、多変量正規分布に従う ランダムベクトル X∼Nn(μ,Σ) の線形変換 Y=AX+b は、引き続き多変量正規分布 Nm(Aμ+b,AΣAT) に従う。
周辺分布の正規性
X=μ=Σ=[X1X2][μ1μ2][Σ11Σ21Σ12Σ22]:Ω→Rn∈Rn∈Rn×n
こうして、X、μ、Σ を ジョルダン標準形 で示したとする。もし、X∼Nn(μ,Σ) ならば、その周辺ランダムベクトル の一つ、X1 は多変量正規分布 Nm(μ1,Σ11) に従う。
証明
線形変換
多変量正規分布のモーメント生成関数:X∼Np(μ,Σ) のモーメント生成関数は以下の通りである。
MX(t)=exp(tTμ+21tTΣt),t∈Rp
多変量正規分布のモーメント生成関数から直接導出される。Y のモーメント生成関数は以下の通り。
MY(t)=======E[exp(tTY)]E[exp(tT(AX+b))]E[exp(tTb)]E[exp(tTAX)]exp(tTb)E[exp((ATt)TX)]exp(tTb)exp((ATt)T(μ+21ΣATt))exp(tTb)exp((ATt)Tμ+21(tTAΣATt))exp(tT(b+Aμ)+21(tTAΣATt))
これはNm(Aμ+b,AΣAT) のモーメント生成関数と同一である。
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周辺分布
上記の定理の自明な帰結である。単位行列 Im∈Rm×m および 零行列 Om(n−m)∈Rm×(n−m) に関して、行列 A∈Rm×n を
A=[ImOm(n−m)]
のように定義すると自然に
X1=AX
となる。このベクトルの一部成分を省略するマッピングは 自然射影 とも呼ばれる。
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