空間データ分析におけるクリギングとは？
📂統計的分析 空間データ分析におけるクリギングとは？ モデル オーディナリークリギング 空間データ分析 で、ランダムフィールド Y = ( Y ( s 1 ) , ⋯ , Y ( s n ) ) \mathbf{Y} = \left( Y \left( s_{1} \right) , \cdots , Y \left( s_{n} \right) \right) Y = ( Y ( s 1 ) , ⋯ , Y ( s n ) ) 平均 μ ∈ R \mu \in \mathbb{R} μ ∈ R 共分散行列 Σ ∈ R n × n \Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n} Σ ∈ R n × n 多変量正規分布 に従う ε ∼ N n ( 0 , Σ ) \varepsilon \sim N_{n} \left( \mathbf{0} , \Sigma \right) ε ∼ N n ( 0 , Σ ) Y = μ 1 + ε
\mathbf{Y} = \mu \mathbf{1} + \varepsilon
Y = μ 1 + ε site s 0 s_{0} s 0 Y ( s 0 ) Y \left( s_{0} \right) Y ( s 0 ) オーディナリークリギング推定値 ordinary Kriging Estimate と呼ぶ。このようにモデルを立てて推定する行為自体をクリギング とも呼ぶ。
1 = ( 1 , ⋯ , 1 ) \mathbf{1} = (1 , \cdots , 1) 1 = ( 1 , ⋯ , 1 ) 1 1 1 1ベクトル だ。N n ( 0 , Σ ) N_{n} \left( \mathbf{0} , \Sigma \right) N n ( 0 , Σ ) 多変量正規分布 を意味する。説明 語源 クリギング kriging は、ダニエル・G・クリージ daine G. Krige という巨匠の名前がそのまま動詞化されたものである。通常の統計学で予測、予想、適合、推定などと使う表現はもちろん、「空白の空間」の値を埋めるという意味で補間 技術のように説明する場合もかなりあるが、これら全ての説明を短くしてクリギングする という一般動詞になったと考えられる。
狭義の応用数学、コンピュータアルゴリズム、機械学習技術などと区別されるクリギングの特徴は、とにかく統計学 らしくその平均（点推定量）だけでなくその分散まで考慮することである。想像してみてほしいが、各地点で分散が高い場所のクリギング推定値は同様に分散が大きく、分散が低い場所同士の地点では分散が低いだろう。これはあるデータの観測所の位置を選定するのにも使われるが、例えば微粒子の濃度を測定するとしたら、微粒子をどのように測定するかが気になるのではなく、その測定がどれだけ正確か―つまり、測定値の分散が最も高い場所を選定するようなアプローチがある。
依存性 Y = μ 1 + ε , where ε ∼ N n ( 0 , Σ )
\mathbf{Y} = \mu \mathbf{1} + \varepsilon \qquad , \text{where } \varepsilon \sim N_{n} \left( 0, \Sigma \right)
Y = μ 1 + ε , where ε ∼ N n ( 0 , Σ ) 回帰分析 や時系列分析 と異なり ε \varepsilon ε Σ \Sigma Σ 対角行列 、つまり観測値ごとの依存性がなければ、そもそも空間的な構造がないという意味であり、わざわざクリギングをする理由がない。実際の分析ではこの Σ \Sigma Σ セミバリオグラムのモデル を通じて次のように決定される。
Σ = σ 2 H ( ϕ ) + τ 2 I
\Sigma = \sigma^{2} H \left( \phi \right) + \tau^{2} I
Σ = σ 2 H ( ϕ ) + τ 2 I τ 2 \tau^{2} τ 2 ナゲット効果分散 （理論と異なり実際のデータ で距離に関係なく基本的に見られる共分散性）であり、I I I 単位行列 である。
一般化 次のように他の独立変数に対して一般化モデルを使用するクリギングをユニバーサルクリギング と呼ぶ。
Y = X β + ε
\mathbf{Y} = \mathbf{X} \beta + \varepsilon
Y = X β + ε
公式 ランダムフィールド { Y ( s k ) } k = 1 n \left\{ Y (s_{k}) \right\}_{k=1}^{n} { Y ( s k ) } k = 1 n 固有的定常空間過程 であるとし、新たに予測したい地点を s 0 s_{0} s 0 バリオグラム 2 γ 2 \gamma 2 γ 行列 Γ ∈ R n × n \Gamma \in \mathbb{R}^{n \times n} Γ ∈ R n × n ( Γ ) i j : = γ ( s i − s j ) \left( \Gamma \right)_{ij} := \gamma \left( s_{i} - s_{j} \right) ( Γ ) ij := γ ( s i − s j ) ベクトル γ 0 ∈ R n \gamma_{0} \in \mathbb{R}^{n} γ 0 ∈ R n ( γ 0 ) i : = ( γ ( s 0 − s i ) ) \left( \gamma_{0} \right)_{i} := \left( \gamma \left( s_{0} - s_{i} \right) \right) ( γ 0 ) i := ( γ ( s 0 − s i ) ) l = ( l 1 , ⋯ , l n ) l = \left( l_{1} , \cdots , l_{n} \right) l = ( l 1 , ⋯ , l n ) Y ( s 0 ) Y \left( s_{0} \right) Y ( s 0 ) 最良線形不偏予測量bLUP, Best Linear Unbiased Predictor は l l l Y \mathbf{Y} Y 内積 であり、
l T Y = [ l 1 ⋯ l n ] [ Y ( s 1 ) Y ( s 2 ) ⋮ Y ( s n ) ] = ∑ k = 1 n l k Y ( s k )
l^{T} \mathbf{Y} = \begin{bmatrix} l_{1} & \cdots & l_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y \left( s_{1} \right)\\ Y \left( s_{2} \right)\\ \vdots\\ Y \left( s_{n} \right) \end{bmatrix} = \sum_{k=1}^{n} l_{k} Y \left( s_{k} \right)
l T Y = [ l 1 ⋯ l n ] Y ( s 1 ) Y ( s 2 ) ⋮ Y ( s n ) = k = 1 ∑ n l k Y ( s k ) l l l l = Γ − 1 ( γ 0 + 1 − 1 T Γ − 1 γ 0 1 T Γ − 1 1 1 )
l = \Gamma^{-1} \left( \gamma_{0} + {{ 1 - \mathbf{1}^T \Gamma^{-1} \gamma_{0} } \over { \mathbf{1}^T \Gamma^{-1} \mathbf{1} }} \mathbf{1} \right)
l = Γ − 1 ( γ 0 + 1 T Γ − 1 1 1 − 1 T Γ − 1 γ 0 1 )
導出 具体的にクリギングがどのように行われるか、数式で調べるプロセスである。この公式の仮定にガウス過程 という仮定まで追加されれば、オーディナリークリギングになる。
パート1. 最適化問題
ある定数 l 1 , ⋯ , l n , δ 0 ∈ R l_{1} , \cdots , l_{n} , \delta_{0} \in \mathbb{R} l 1 , ⋯ , l n , δ 0 ∈ R Y ( s 0 ) Y \left( s_{0} \right) Y ( s 0 ) 線形結合
y ^ ( s 0 ) = l 1 y 1 + ⋯ + l n y n + δ 0
\hat{y} \left( s_{0} \right) = l_{1} y_{1} + \cdots + l_{n} y_{n} + \delta_{0}
y ^ ( s 0 ) = l 1 y 1 + ⋯ + l n y n + δ 0 目的関数
E [ Y ( s 0 ) − ( ∑ k l k Y ( s k ) + δ 0 ) ] 2
E \left[ Y \left( s_{0} \right) - \left( \sum_{k} l_{k} Y \left( s_{k} \right) + \delta_{0} \right) \right]^{2}
E [ Y ( s 0 ) − ( k ∑ l k Y ( s k ) + δ 0 ) ] 2 最小化 する最適解 l 1 , ⋯ , l n , δ 0 l_{1} , \cdots , l_{n} , \delta_{0} l 1 , ⋯ , l n , δ 0
固有的定常性の定義 : ユークリッド空間 の固定された部分集合 D ⊂ R r D \subset \mathbb{R}^{r} D ⊂ R r 確率変数 Y ( s ) : Ω → R 1 Y(s) : \Omega \to \mathbb{R}^{1} Y ( s ) : Ω → R 1 集合 である空間過程 { Y ( s ) } s ∈ D \left\{ Y(s) \right\}_{s \in D} { Y ( s ) } s ∈ D h ∈ R r \mathbf{h} \in \mathbb{R}^{r} h ∈ R r n ∈ N n \in \mathbb{N} n ∈ N サイト site を { s 1 , ⋯ , s n } ⊂ D \left\{ s_{1} , \cdots , s_{n} \right\} \subset D { s 1 , ⋯ , s n } ⊂ D Y ( s ) Y(s) Y ( s ) s ∈ D s \in D s ∈ D 分散 が存在すると仮定する。[ Y ( s + h ) − Y ( s ) ] \left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) - Y(s) \right] [ Y ( s + h ) − Y ( s ) ] 0 0 0 h \mathbf{h} h { Y ( s k ) } \left\{ Y \left( s_{k} \right) \right\} { Y ( s k ) } 固有的定常性 intrinsic Stationarity を持つと言われる。
E [ Y ( s + h ) − Y ( s ) ] = 0 Var [ Y ( s + h ) − Y ( s ) ] = 2 γ ( h )
\begin{align*}
E \left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) - Y(s) \right] =& 0
\\ \Var \left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) - Y(s) \right] =& 2 \gamma ( \mathbf{h} )
\end{align*}
E [ Y ( s + h ) − Y ( s ) ] = Var [ Y ( s + h ) − Y ( s ) ] = 0 2 γ ( h )
ここで { Y ( s k ) } k = 1 n \left\{ Y \left( s_{k} \right) \right\}_{k=1}^{n} { Y ( s k ) } k = 1 n ∑ k l k = 1 \sum_{k} l_{k} = 1 ∑ k l k = 1 E [ Y ( s 0 ) − ( ∑ k l k Y ( s k ) ) ] = E [ ∑ k l k Y ( s 0 ) − ( ∑ k l k Y ( s k ) ) ] = ∑ k l k E [ Y ( s 0 ) − Y ( s k ) ] = 0
\begin{align*}
& E \left[ Y \left( s_{0} \right) - \left( \sum_{k} l_{k} Y \left( s_{k} \right) \right) \right]
\\ =& E \left[ \sum_{k} l_{k} Y \left( s_{0} \right) - \left( \sum_{k} l_{k} Y \left( s_{k} \right) \right) \right]
\\ =& \sum_{k} l_{k} E \left[ Y \left( s_{0} \right) - Y \left( s_{k} \right) \right]
\\ =& 0
\end{align*}
= = = E [ Y ( s 0 ) − ( k ∑ l k Y ( s k ) ) ] E [ k ∑ l k Y ( s 0 ) − ( k ∑ l k Y ( s k ) ) ] k ∑ l k E [ Y ( s 0 ) − Y ( s k ) ] 0 目的関数 は δ 0 \delta_{0} δ 0 E [ Y ( s 0 ) − ∑ k l k Y ( s k ) ] 2 + δ 0 2
E \left[ Y \left( s_{0} \right) - \sum_{k} l_{k} Y \left( s_{k} \right) \right]^{2} + \delta_{0}^{2}
E [ Y ( s 0 ) − k ∑ l k Y ( s k ) ] 2 + δ 0 2 δ 0 2 \delta_{0}^{2} δ 0 2 Y = μ 1 + ε \mathbf{Y} = \mu \mathbf{1} + \varepsilon Y = μ 1 + ε δ 0 \delta_{0} δ 0 μ \mu μ δ 0 = 0 \delta_{0} = 0 δ 0 = 0 E [ Y ( s 0 ) − ∑ k l k Y ( s k ) ] 2
E \left[ Y \left( s_{0} \right) - \sum_{k} l_{k} Y \left( s_{k} \right) \right]^{2}
E [ Y ( s 0 ) − k ∑ l k Y ( s k ) ] 2 a 0 = 1 a_{0} = 1 a 0 = 1 a k = − l k a_{k} = - l_{k} a k = − l k E [ Y ( s 0 ) − ∑ k = 1 n l k Y ( s k ) ] 2 = E [ ∑ k = 0 n a k Y ( s k ) ] 2
E \left[ Y \left( s_{0} \right) - \sum_{k=1}^{n} l_{k} Y \left( s_{k} \right) \right]^{2} = E \left[ \sum_{k=0}^{n} a_{k} Y \left( s_{k} \right) \right]^{2}
E [ Y ( s 0 ) − k = 1 ∑ n l k Y ( s k ) ] 2 = E [ k = 0 ∑ n a k Y ( s k ) ] 2 ラグランジュ乗数法 で解くことになる。
Minimize E [ ∑ k = 0 n a k Y ( s k ) ] 2 subject to ∑ k = 0 n a k = 0
\begin{matrix}
\text{Minimize} & \displaystyle E \left[ \sum_{k=0}^{n} a_{k} Y \left( s_{k} \right) \right]^{2}
\\ \text{subject to} & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_{k} = 0
\end{matrix}
Minimize subject to E [ k = 0 ∑ n a k Y ( s k ) ] 2 k = 0 ∑ n a k = 0
パート2. セミバリオグラム γ \gamma γ
今、E [ ∑ k = 0 n a k Y ( s k ) ] 2 E \left[ \sum_{k=0}^{n} a_{k} Y \left( s_{k} \right) \right]^{2} E [ ∑ k = 0 n a k Y ( s k ) ] 2
セミバリオグラムの定義 : ユークリッド空間 の固定された部分集合 D ⊂ R r D \subset \mathbb{R}^{r} D ⊂ R r 確率変数 Y ( s ) : Ω → R 1 Y(s) : \Omega \to \mathbb{R}^{1} Y ( s ) : Ω → R 1 集合 である空間過程 { Y ( s ) } s ∈ D \left\{ Y(s) \right\}_{s \in D} { Y ( s ) } s ∈ D h ∈ R r \mathbf{h} \in \mathbb{R}^{r} h ∈ R r n ∈ N n \in \mathbb{N} n ∈ N { s 1 , ⋯ , s n } ⊂ D \left\{ s_{1} , \cdots , s_{n} \right\} \subset D { s 1 , ⋯ , s n } ⊂ D Y ( s ) Y(s) Y ( s ) s ∈ D s \in D s ∈ D 分散 が存在すると仮定する。次のように定義される 2 γ ( h ) 2 \gamma ( \mathbf{h} ) 2 γ ( h ) バリオグラム variogram と呼ぶ。
2 γ ( h ) : = E [ Y ( s + h ) − Y ( s ) ] 2
2 \gamma ( \mathbf{h} ) := E \left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) - Y(s) \right]^{2}
2 γ ( h ) := E [ Y ( s + h ) − Y ( s ) ] 2 γ ( h ) \gamma ( \mathbf{h} ) γ ( h ) セミバリオグラム semivariogram と呼ぶ。
γ ( s i − s j ) \gamma \left( s_{i} - s_{j} \right) γ ( s i − s j ) s i , s j s_{i}, s_{j} s i , s j ∑ 0 = 1 n a k = 0 \sum_{0=1}^{n} a_{k} = 0 ∑ 0 = 1 n a k = 0 集合 { a k : k = 1 , ⋯ , n } ⊂ R \left\{ a_{k} : k = 1 , \cdots , n \right\} \subset \mathbb{R} { a k : k = 1 , ⋯ , n } ⊂ R ∑ i ∑ j a i a j γ ( s i − s j ) = − E [ ∑ i a i Y ( s i ) ] 2
\sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} \gamma \left( s_{i} - s_{j} \right) = - E \left[ \sum_{i} a_{i} Y \left( s_{i} \right) \right]^{2}
i ∑ j ∑ a i a j γ ( s i − s j ) = − E [ i ∑ a i Y ( s i ) ] 2 ∑ i ∑ j a i a j γ ( s i − s j ) = 1 2 ∑ i ∑ j a i a j Var [ Y ( s i ) − Y ( s j ) ] = 1 2 ∑ i ∑ j a i a j E [ Y ( s i ) − Y ( s j ) ] 2 = 1 2 ∑ i ∑ j a i a j E ( [ Y ( s i ) ] 2 − 2 Y ( s i ) Y ( s j ) + [ Y ( s j ) ] 2 ) = − ∑ i ∑ j a i a j E ( Y ( s i ) Y ( s j ) ) ∵ cases of i = j = − E ∑ i ∑ j a i a j Y ( s i ) Y ( s j ) = − E ∑ i a i Y ( s i ) ∑ j a j Y ( s j ) = − E [ ∑ i a i Y ( s i ) ] 2
\begin{align*}
& \sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} \gamma \left( s_{i} - s_{j} \right)
\\ =& {{ 1 } \over { 2 }} \sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} \Var \left[ Y \left( s_{i} \right) - Y \left( s_{j} \right) \right]
\\ =& {{ 1 } \over { 2 }} \sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} E \left[ Y \left( s_{i} \right) - Y \left( s_{j} \right) \right]^{2}
\\ =& {{ 1 } \over { 2 }} \sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} E \left( \left[ Y \left( s_{i} \right) \right]^{2} - 2 Y \left( s_{i} \right) Y \left( s_{j} \right) + \left[ Y \left( s_{j} \right) \right]^{2} \right)
\\ =& - \sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} E \left( Y \left( s_{i} \right) Y \left( s_{j} \right) \right) & \because \text{cases of } i = j
\\ =& - E \sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} Y \left( s_{i} \right) Y \left( s_{j} \right)
\\ =& - E \sum_{i} a_{i} Y \left( s_{i} \right) \sum_{j} a_{j} Y \left( s_{j} \right)
\\ =& - E \left[ \sum_{i} a_{i} Y \left( s_{i} \right) \right]^{2}
\end{align*}
= = = = = = = i ∑ j ∑ a i a j γ ( s i − s j ) 2 1 i ∑ j ∑ a i a j Var [ Y ( s i ) − Y ( s j ) ] 2 1 i ∑ j ∑ a i a j E [ Y ( s i ) − Y ( s j ) ] 2 2 1 i ∑ j ∑ a i a j E ( [ Y ( s i ) ] 2 − 2 Y ( s i ) Y ( s j ) + [ Y ( s j ) ] 2 ) − i ∑ j ∑ a i a j E ( Y ( s i ) Y ( s j ) ) − E i ∑ j ∑ a i a j Y ( s i ) Y ( s j ) − E i ∑ a i Y ( s i ) j ∑ a j Y ( s j ) − E [ i ∑ a i Y ( s i ) ] 2 ∵ cases of i = j γ i j = γ ( s i − s j ) \gamma_{ij} = \gamma \left( s_{i} - s_{j} \right) γ ij = γ ( s i − s j ) γ 0 j = γ ( s 0 − s j ) \gamma_{0j} = \gamma \left( s_{0} - s_{j} \right) γ 0 j = γ ( s 0 − s j ) E [ ∑ i a i Y ( s i ) ] 2 = − ∑ i ∑ j a i a j γ ( s i − s j ) = − ∑ i ∑ j l i l j γ i j + 2 ∑ i l i γ 0 i
\begin{align*}
& E \left[ \sum_{i} a_{i} Y \left( s_{i} \right) \right]^{2}
\\ =& - \sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} \gamma \left( s_{i} - s_{j} \right)
\\ =& - \sum_{i} \sum_{j} l_{i} l_{j} \gamma_{ij} + 2 \sum_{i} l_{i} \gamma_{0i}
\end{align*}
= = E [ i ∑ a i Y ( s i ) ] 2 − i ∑ j ∑ a i a j γ ( s i − s j ) − i ∑ j ∑ l i l j γ ij + 2 i ∑ l i γ 0 i ラグランジュ乗数法 によって制約条件 ∑ i l i = 1 \sum_{i} l_{i} = 1 ∑ i l i = 1 lagrange Multiplier を掛けて引くことで、
− ∑ i ∑ j l i l j γ i j + 2 ∑ i l i γ 0 i − λ ∑ i l i
\ - \sum_{i} \sum_{j} l_{i} l_{j} \gamma_{ij} + 2 \sum_{i} l_{i} \gamma_{0i} - \lambda \sum_{i} l_{i}
− i ∑ j ∑ l i l j γ ij + 2 i ∑ l i γ 0 i − λ i ∑ l i l i l_{i} l i 偏微分 して
− ∑ j l j γ i j + γ 0 i − λ = 0
\ - \sum_{j} l_{j} \gamma_{ij} + \gamma_{0i} - \lambda = 0
− j ∑ l j γ ij + γ 0 i − λ = 0
パート3. 最適解
ここで、具体的な最適解の公式を導出する。行列 Γ ∈ R n × n \Gamma \in \mathbb{R}^{n \times n} Γ ∈ R n × n ( i , j ) (i,j) ( i , j )
eq74◁ とし、つまり ( Γ ) i j : = γ i j \left( \Gamma \right)_{ij} := \gamma_{ij} ( Γ ) ij := γ ij γ 0 ∈ R n \gamma_{0} \in \mathbb{R}^{n} γ 0 ∈ R n ( γ 0 ) i : = γ 0 i \left( \gamma_{0} \right)_{i} := \gamma_{0i} ( γ 0 ) i := γ 0 i l : = ( l 1 , ⋯ , l n ) ∈ R n l := \left( l_{1} , \cdots , l_{n} \right) \in \mathbb{R}^{n} l := ( l 1 , ⋯ , l n ) ∈ R n − ∑ j l j γ i j + γ 0 i − λ = 0 ⟹ − Γ l + γ 0 − λ 1 = 0 ⟹ Γ l + λ 1 = γ 0
\begin{align*}
& - \sum_{j} l_{j} \gamma_{ij} + \gamma_{0i} - \lambda = 0
\\ \implies & - \Gamma l + \gamma_{0} - \lambda \mathbf{1} = 0
\\ \implies & \Gamma l + \lambda \mathbf{1} = \gamma_{0}
\end{align*}
⟹ ⟹ − j ∑ l j γ ij + γ 0 i − λ = 0 − Γ l + γ 0 − λ 1 = 0 Γ l + λ 1 = γ 0 ∑ i l i = 1 ⟺ [ 1 ⋯ 1 ] [ l 1 ⋮ l n ] = 1 ⟺ 1 T l = 1
\sum_{i} l_{i} = 1 \iff \begin{bmatrix} 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l_{1} \\ \vdots \\ l_{n} \end{bmatrix} = 1 \iff \mathbf{1}^{T} l = 1
i ∑ l i = 1 ⟺ [ 1 ⋯ 1 ] l 1 ⋮ l n = 1 ⟺ 1 T l = 1 1 T l = 1 \mathbf{1}^{T} l = 1 1 T l = 1 x T \mathbf{x}^{T} x T x \mathbf{x} x 転置 を表す。まず単独で λ \lambda λ 1 = 1 T l = 1 T Γ − 1 Γ l = 1 T Γ − 1 ( γ 0 − λ 1 ) = 1 T Γ − 1 γ 0 − λ 1 T Γ − 1 1
\begin{align*}
1 =& \mathbf{1}^T l
\\ =& \mathbf{1}^T \Gamma^{-1} \Gamma l
\\ =& \mathbf{1}^T \Gamma^{-1} \left( \gamma_{0} - \lambda \mathbf{1} \right)
\\ =& \mathbf{1}^T \Gamma^{-1} \gamma_{0} - \lambda \mathbf{1}^T \Gamma^{-1} \mathbf{1}
\end{align*}
1 = = = = 1 T l 1 T Γ − 1 Γ l 1 T Γ − 1 ( γ 0 − λ 1 ) 1 T Γ − 1 γ 0 − λ 1 T Γ − 1 1 − λ = 1 − 1 T Γ − 1 γ 0 1 T Γ − 1 1
\ - \lambda = {{ 1 - \mathbf{1}^T \Gamma^{-1} \gamma_{0} } \over { \mathbf{1}^T \Gamma^{-1} \mathbf{1} }}
− λ = 1 T Γ − 1 1 1 − 1 T Γ − 1 γ 0 l l l Γ l + λ 1 = γ 0 ⟹ Γ l = γ 0 − λ 1 ⟹ Γ l = γ 0 + 1 − 1 T Γ − 1 γ 0 1 T Γ − 1 1 1 ⟹ l = Γ − 1 ( γ 0 + 1 − 1 T Γ − 1 γ 0 1 T Γ − 1 1 1 )
\begin{align*}
& \Gamma l + \lambda \mathbf{1} = \gamma_{0}
\\ \implies & \Gamma l = \gamma_{0} - \lambda \mathbf{1}
\\ \implies & \Gamma l = \gamma_{0} + {{ 1 - \mathbf{1}^T \Gamma^{-1} \gamma_{0} } \over { \mathbf{1}^T \Gamma^{-1} \mathbf{1} }} \mathbf{1}
\\ \implies & l = \Gamma^{-1} \left( \gamma_{0} + {{ 1 - \mathbf{1}^T \Gamma^{-1} \gamma_{0} } \over { \mathbf{1}^T \Gamma^{-1} \mathbf{1} }} \mathbf{1} \right)
\end{align*}
⟹ ⟹ ⟹ Γ l + λ 1 = γ 0 Γ l = γ 0 − λ 1 Γ l = γ 0 + 1 T Γ − 1 1 1 − 1 T Γ − 1 γ 0 1 l = Γ − 1 ( γ 0 + 1 T Γ − 1 1 1 − 1 T Γ − 1 γ 0 1 )
■
