📂確率分布論

ケント分布

定義 ¹

集中度^{concentration} $\kappa > 0$ と $\beta \in \mathbb{R}$、平均^mean $\gamma_{1} \in S^{p-1}$、長軸^{major Axis} $\gamma_{2} \in S^{p-1}$、短軸^{minor Axis} $\gamma_{3} \in S^{p-1}$ について、以下の確率密度関数を持つ多変量分布 $\text{FB}_{5} \left( \left( \gamma_{1} , \gamma_{2} , \gamma_{3} \right) , \kappa , \beta \right)$ を ケント分布^{kent distribution}という。 $$f \left( \mathbf{x} \right) = {{ 1 } \over { c \left( \kappa , \nu \right) }} \exp \left( \kappa \gamma^{T} \mathbf{x} + \beta \left[ \left( \gamma_{2}^{T} \mathbf{x} \right)^{2} - \left( \gamma_{3}^{T} \mathbf{x} \right)^{2} \right] \right) \qquad , \mathbf{x} \in S^{p-1}$$

特に$0 \le \beta < \kappa / 2$ の時、この分布は球面上で楕円形であり、$c \left( \kappa , \nu \right) > 0$ は $\int_{S^{p-1}} f(\mathbf{x}) d \mathbf{x} = 1$ となるような正規化定数である。 $$c \left( \kappa , \beta \right) = 2 \pi \sum_{j=0}^{\infty} {{ \Gamma \left( j + {{ 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma \left( j+1 \right) }} \beta^{2j} \left( {{ 2 } \over { \kappa }} \right)^{2j + {{ 1 } \over { 2 }}} I_{2j + {{ 1 } \over { 2 }}} \left( \kappa \right)$$

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• $S^{p-1} \subset \mathbb{R}^{p}$ は 単位球 だ。
• $\gamma ^{T}$ は ベクトル $\gamma$ の転置だ。
• $\Gamma$ は ガンマ関数 だ。
• $I_{\nu}$ は順序 $\nu$ の第一種変形ベッセル関数 で、こんな複雑な関数が使われる理由は 第一種変形ベッセル関数が方向統計学に登場する理由 の投稿を参照。

説明

ケント分布は、非自明な共分散行列によって与えられる多変量正規分布のように、球面上で楕円形の等高線を描くことができる。ただ平面上に楕円を描いて球に移すだけで良さそうだが、定義で紹介されたように、球面上で歪みが生じないように複雑な式でモデリングする必要がある。

分布のパラメータで定義される離心率^eccentricity $2 \beta / \kappa$ は、等高線が円とどの程度異なるかを示す。