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多項分布の共分散行列の導出 📂確率分布論

多項分布の共分散行列の導出

公式

ランダムベクター X:=(X1,,Xk)\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{k} \right)多項分布 Mk(n,p)M_{k} \left( n, \mathbf{p} \right) に従うなら、共分散行列は次の通りだ。 Cov(X)=n[p1(1p1)p1p2p1pkp2p1p2(1p2)p2p2pkp1pkp2pk(1pk)] \operatorname{Cov} \left( \mathbf{X} \right) = n \begin{bmatrix} p_{1} \left( 1 - p_{1} \right) & - p_{1} p_{2} & \cdots & - p_{1} p_{k} \\ - p_{2} p_{1} & p_{2} \left( 1 - p_{2} \right) & \cdots & - p_{2} p_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ - p_{k} p_{1} & - p_{k} p_{2} & \cdots & p_{k} \left( 1 - p_{k} \right) \end{bmatrix}

説明

多項分布の成分同士は、ランダムベクターの合計が nn でなければならないという制約条件のため、独立ではなくほぼ排他的であると言える。したがって、iji \ne j の時、各成分は負の相関関係を持つしかない。

導出 1

i=ji = j ならば Cov(Xi,Xi)=Var(Xi)\operatorname{Cov} \left( X_{i} , X_{i} \right) = \Var \left( X_{i} \right) で、XiX_{i} 各成分は独立に 二項分布 Bin(n,pi)\text{Bin} \left( n , p_{i} \right) に従う。従って、共分散行列の ii 番目の対角成分npi(1pi)n p_{i} \left( 1 - p_{i} \right) になる。

多項分布の束ねる性質: iji \ne j について、Xi+XjX_{i} + X_{j}二項分布 Bin(n,pi+pj)\text{Bin} \left( n , p_{i} + p_{j} \right) に従う。 Xi+XjBin(n,pi+pj) X_{i} + X_{j} \sim \text{Bin} \left( n , p_{i} + p_{j} \right)

iji \ne j の場合、束ねる性質により次のことが得られる。 Var(Xi+Xj)=VarXi+VarXj+2Cov(Xi,Xj)    n(pi+pj)(1pipj)=npi(1pi)+npj(1pj)+2Cov(Xi,Xj)    n(pi+pj)(pipj)=npi(pi)+npj(pj)+2Cov(Xi,Xj)    2npipj=2Cov(Xi,Xj)    Cov(Xi,Xj)=npipj \begin{align*} && \Var \left( X_{i} + X_{j} \right) =& \Var X_{i} + \Var X_{j} + 2 \operatorname{Cov} \left( X_{i} , X_{j} \right) \\ \implies && n \left( p_{i} + p_{j} \right) \left( 1 - p_{i} - p_{j} \right) =& n p_{i} \left( 1 - p_{i} \right) + n p_{j} \left( 1 - p_{j} \right)+ 2 \operatorname{Cov} \left( X_{i} , X_{j} \right) \\ \implies && n \left( p_{i} + p_{j} \right) \left( - p_{i} - p_{j} \right) =& n p_{i} \left( - p_{i} \right) + n p_{j} \left( - p_{j} \right)+ 2 \operatorname{Cov} \left( X_{i} , X_{j} \right) \\ \implies && - 2 n p_{i} p_{j} =& 2 \operatorname{Cov} \left( X_{i} , X_{j} \right) \\ \implies && \operatorname{Cov} \left( X_{i} , X_{j} \right) =& - n p_{i} p_{j} \end{align*}