📂位相データ分析

連続関数の相対的ホモトピー

定義 ¹

ホモトピーの一般化

1. $I = [0,1]$ を単位区間、$X, Y$ を位相空間とする。二つの連続写像 $f_{0} , f_{1} : X \to Y$ に対し、 $$ F (x , 0) = f_{0} (x) \\ F (x , 1) = f_{1} (x) $$ を満たす連続写像 $F : X \times Y$ が存在する場合、$f_{0}, f_{1}$ は ホモトピックであるといい、$F$ を $f_{0}$ と $f_{1}$ の間のホモトピーと呼ぶ。

相対的ホモトピー

2. $X$ の部分集合 $A \subset X$ に対し、 $$ F(a,t) = f_{0} (a) \qquad , \forall a \in A , \forall t \in I $$ を満たす$f_{0}$ と $f_{1}$ の間のホモトピー $F : X \times I \to Y$ が存在する場合、$f_{0}$ と $f_{1}$ は $A$ に相対的にホモトピックであると言う。

説明

1. ホモトピーの一般化は、単にパスに定義されたホモトピーを連続写像に一般化したものに過ぎない。 $$ F : I \times I \to Y $$ のようなホモトピーが二つのパス $f_{0} : I \to Y$ と $f_{1} : I \to Y$ の間に存在したのと同様に、この度は単に定義域が以前の区間 $I = [0,1]$ から一般的な位相空間 $X$ へと拡張されただけである。 $$ F : X \times I \to Y $$
2. 相対的ホモトピーの定義により、全ての $a \in A$ で $f_{0} (a) = f_{1} (a)$ であり、$F$ を $A$ に相対的なホモトピーと呼び、$f_{0} \simeq_{\text{rel } A} f_{1}$ や $f_{0} \simeq\ f_{1} (\text{rel } A)$ のように表現することもできる。ホモトピーが相対的であるということは、単に $A$ では変化がなく、固定されているということに過ぎない。当然だが、定義から’相対的’という表現を無くすには、単に $A = \empty$ であれば良い。
3. 実際の文書で相対的ホモトピーが最もよく使われる方法は、ホモトピーそのものである。単位区間 $[0,1]$ の両端点 $\left\{ 0,1 \right\}$ でだけ等しいということを表現するために、以下のような表記をよく見ることができる。 $$ f \simeq_{\left\{ 0,1 \right\}} g $$