代数的トポロジーにおけるリフティング定理の証明
定理 1 2
カバーとリフトの定義: 単位区間を$I = [0,1]$のように表す。
- $X$のオープンセット$U \subset X$が**$p$によって均等にカバーされる**evenly Covered by $p$とは、全ての$\alpha \in \forall$に対応する全ての制限関数$p |_{\widetilde{U}_{\alpha}}$がホメオモルフィズムであり $$ \alpha_{1} \ne \alpha_{2} \implies \widetilde{U}_{\alpha_{1}} \cap \widetilde{U}_{\alpha_{2}} = \emptyset $$ を満たす、つまり互いに素な$\widetilde{X}$のオープンセット$\widetilde{U}_{\alpha} \subset \widetilde{X}$について $$ p^{-1} \left( U \right) = \bigsqcup_{\alpha \in \forall} \widetilde{U}_{\alpha} $$ が成り立つことを意味する。
- $p : \widetilde{X} \to X$が全射関数であり、全ての$x \in X$に対して$p$によって均等にカバーされる$x$のオープンネイバーフッド$U_{x} \subset X$が存在する場合、$p : \widetilde{X} \to X$をカバーcoveringという。
- カバー$p$の定義域$\widetilde{X}$をカバースペースcovering space、値域$X$をベーススペースbase spaceという。
- $n \in \mathbb{N}$とする。$f : I^{n} \to X$と$\widetilde{f} : I^{n} \to \widetilde{X}$が次を満たす場合、$\widetilde{f}$を$f$のリフトliftという。 $$ f = p \circ \widetilde{f} $$
$1$-スフィア$S^{1}$を値域に持つカバーを$p : \mathbb{R} \to S^{1}$としよう。
パスリフティング定理
連続関数$f : I \to S^{1}$はリフト$\widetilde{f} : I \to \mathbb{R}$を持つ。特に与えられた$x_{0} \in S^{1}$と$\widetilde{x}_{0} \in p^{-1} \left( x_{0} \right)$に対して、$\widetilde{f} \left( 0 \right) = \widetilde{x}_{0}$である$\widetilde{f}$は一意に存在する。
ホモトピー・リフティング定理
連続関数$F : I^{2} \to S^{1}$はリフト$\widetilde{F} : I^{2} \to \mathbb{R}$を持つ。特に与えられた$x_{0} \in S^{1}$と$\widetilde{x}_{0} \in p^{-1} \left( x_{0} \right)$に対して、$\widetilde{F} \left( 0 , 0 \right) = \widetilde{x}_{0}$である$\widetilde{F}$は一意に存在する。
説明
リフティング定理lifting theoremは一般に単位円$S^{1}$の性質を研究するための補助定理として言及され、形式的にformally見た場合、パスリフティングか、ホモトピー・リフティングかという区別はあまり意味がない。
むしろ、ほとんどの数学者が気にすべき質問は$X \ne S^{1}$である$f: I^{m} \to X$に対する一般化が可能かという点であり、実際にはコンパクト空間$Y$に対する連続関数$f: Y \times I^{m} \to X$に対するリフティング定理まで論じることができる。ただし、このような拡張が実際には全く役に立たないため、直接学ぶには過剰だと言われている。
証明
戦略: パスリフティング定理のみを証明する。本質的にホモトピー・リフティング定理の証明はパスリフティング定理の証明と同じである。パスリフティング定理ではコンパクト空間である$I$から区間を有限に分割して証明するように、ホモトピー・リフティング定理では同様にコンパクトな空間である$I^{2}$を有限に分割して同じ議論を繰り返す。
Part 1. 設定
- $p : \widetilde{X} \to X$が全射関数であり、全ての$x \in X$に対して$p$によって均等にカバーされる$x$のオープンネイバーフッド$U_{x} \subset X$が存在する場合、$p : \widetilde{X} \to X$をカバーcoveringという。
$p : \mathbb{R} \to S^{1}$はカバーとされているので、全ての$x \in S^{1}$に対して$p$によって均等にカバーされる$x$のネイバーフッド$U_{x} \subset S^{1}$が存在する。
$I = [0,1]$はコンパクトなので$I \subset \bigcup_{k=1}^{n} \left[ a_{k-1} , a_{k} \right]$を満たすような有限の点の集合$\left\{ a_{k} \right\}_{k=0}^{n} \subset I$が存在し、
$$
0 = a_{0} < a_{1} < \cdots < a_{n-1} < a_{n} = 1
$$
その区間$\left[ a_{k-1} , a_{k} \right] \subset I$に対する$f$のイメージは$S^{1}$に含まれ、特にあるオープンセット$U \subset S^{1}$に対して以下の包含関係を満たす。
$$
f \left( \left[ a_{k-1} , a_{k} \right] \right) \subset U \subset S^{1}
$$
このような$U$に対するカバー$p$の互いに素なプレイメージを$\widetilde{U}_{t} := p^{-1} \left( U_{t} \right)$とすれば、それぞれ$t \in \mathbb{Z}$に対して$U$とホメオモルフィックである。
Part 2. 帰納的構築
任意の$x \in S^{1}$ではなく、具体的に$x_{0} \in S^{1}$を選び、その$p$のプレイメージの要素の一つを$\widetilde{x}_{0} := p^{-1} \left( x_{0} \right) \in \mathbb{R}$と表す。元の設定によれば、これらの要素の集合は$\mathbb{Z}$との間に全単射が存在するが、どれがどうであれ関係ない。
私たちは$I$全体ではなく、$\left[ 0, a_{k} \right]$に対して$\widetilde{f}_{k} (0) = \widetilde{x}_{0}$を満たすリフト$\widetilde{f}_{k}$を帰納的に定義して、結果的に$\widetilde{f}$を見つけようとしている。
- $k = 0$の場合は単に$\widetilde{f}_{0} (0) = \widetilde{x}_{0}$とし、他に選択肢はない。
- $k \ne 0$の場合、連続関数$\widetilde{f}_{k} : \left[ 0 , a_{k} \right] \to \mathbb{R}$が一意に定義されると仮定する。
- ある一意の$\widetilde{U} \in \left\{ \widetilde{U}_{t} \right\}_{t \in \mathbb{Z}}$に対して$\widetilde{f} \left( a_{k} \right) \in \widetilde{U}$である。
- $\widetilde{f}_{k}$は連続であり、区間$\left[ a_{k} , a_{k+1} \right]$は経路連結であるため、$\widetilde{f}_{k}$の拡張関数$\widetilde{f}_{k+1}$がどのように定義されても、少なくとも$\left[ a_{k} , a_{k+1} \right]$は必ず$\widetilde{U}$内にマッピングされなければならない。
- $p$がカバーであるため、全ての$t \in \mathbb{Z}$に対してホメオモルフィズム$p | \widetilde{U}_{t} : \widetilde{U}_{t} \to U$が存在し、それにより $$ p \circ \rho_{k} = f | \left[ a_{k} , a_{k+1} \right] $$ を満たす一意の関数$\rho_{k} : \left[ a_{k} , a_{k+1} \right] \to \widetilde{U}$が存在する。このような関数$\rho_{k}$の存在は、$p$の制限関数がホメオモルフィズムであること―すなわち単射であることに基づくため、$\rho_{k} \left( a_{k} \right) = \widetilde{f}_{k} \left( a_{k} \right)$であり、$\rho_{k}$の連続性も保証される。
接着補題: 位相空間$X,Y$に対して、二つの閉集合$A,B \subset X$が$A \cup B = X$を満たし、二つの連続関数$f : A \to Y$と$g : B \to Y$が全ての$x \in A \cap B$に対して$f(x) = g(x)$であるとする。すると、以下のように定義された$h$は連続関数である。 $$ h(x) : = \begin{cases} f(x), & x \in A \\ g(x), & x \in B \end{cases} $$
- 接着補題により、以下のような連続関数$\widetilde{f}_{k+1} : \left[ 0 , a_{k+1} \right] \to \mathbb{R}$を一意に定義できる。 $$ \widetilde{f}_{k+1} := \begin{cases} \widetilde{f}_{k} (s) & , \text{if } s \in \left[ 0, a_{k} \right] \\ \rho_{k} (s) & , \text{if } s \in \left[ a_{k} , a_{k+1} \right] \end{cases} $$
数学的帰納法により、$S^{1}$は$t \in \mathbb{Z}$周回する螺旋に向かうリフトが具体的に存在する。ここで、$k = 0, 1, \cdots , n$は$\mathbb{R}$で上下に動くインデックスではなく、$S^{1}$を回転させながら有限に分割するインデックスであることをよく想像しなければならない。$k$が$1$ずつ増えるごとに、$\mathbb{R}$では整数の数だけ多くの区間の集合$\left\{ \widetilde{U}_{t} \right\}_{t \in \mathbb{Z}}$も同様に回転して動く。
Part 3. ホモトピー・リフティング定理
- $0$から$n-1$までの整数を集めた集合$\left\{ 0, 1, \cdots , n-1 \right\}$を簡単に$0:n$と書こう。
$I$がコンパクトであることに基づいて$0 = a_{0} < \cdots < a_{n} = 1$を選べたように、$I^{2}$もコンパクトであるため、 $$ \begin{align*} 0 = a_{0} < \cdots < a_{n} = 1 \\ 0 = b_{0} < \cdots < b_{m} = 1 \end{align*} $$ のように正方形を格子に切る有限の二つの自然数$n , m \in \mathbb{N}$が存在し、それぞれの小さなマスを$i = 0:n$、$j = 0:m$に対して $$ R_{i,j} := \left[ a_{i-1}, a_{i} \right] \times \left[ b_{j-1} , b_{j} \right] \subset I^{2} $$ と定義すると、 $$ R_{0,0} , R_{0,1} , \cdots , R_{0,m} , R_{1,0} \cdots, R_{n,m} $$ のような小さな長方形のシーケンスが得られる。これに対してパスリフティング定理で行った議論を繰り返せば、ホモトピー・リフティング定理が証明される。
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