📂位相データ分析

フリーグループとその部分群

定理

$F$をフリーなアーベル群としよう。

• [2]: もし$F$がランク$n$なら、$F$の部分群$R \subset F$はランク$r \le n$のフリーアーベル群だ。
• [3]: さらに、$F$の基底$e_{1} , \cdots , e_{n}\in F$と自然数$t_{1} , \cdots , t_{k}$が存在し、次の三条件を満たす。
  • (i): $k \le r$で、全ての$i$に対して$t_{i} > 1$だ。
  • (ii): $t_{1}e_{1} , \cdots , t_{k}e_{k} , e_{k+1} , \cdots , e_{r}$は$R$の基底だ。
  • (iii): $t_{1} \mid t_{2} \mid \cdots \mid t_{k}$。つまり、$t_{i}$は$t_{i+1}$を割る。

$e_{1}, \cdots, e_{n}$がユニークである保証はないが、$t_{1} , \cdots , t_{k} > 1$たちは与えられた$F$と$R$によってユニークに決定される。

説明

定理で述べられる$t_{1} , \cdots , t_{k}$は少し複雑に見えるが、実際には$k \le r$や$t_{i} > 1$のような説明を加える必要なく、単に $$t_{1}e_{1} , \cdots , t_{r}e_{r}$$ が$R$の基底で、$t_{1} , \cdots , t_{r} \in \mathbb{N}$と言えばもっと明確になる。しかし、代数位相と関連した有限生成アーベル群の基本定理のように、最終的に$k \le r$を区別するためにこのように始める。

証明

1, [2] ¹

射影マップを定義して具体的に示す。詳細な証明は省略するので、Munkres¹を参照してほしい。

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[3] ²

定理1, [2]により、ランク$n$のフリーアーベル群$F$の部分群$R \subset F$はフリーアーベル群であり、ランクは$r \le n$だ。$R$が$F$の部分群なので、^inclusionな同型写像$f : R \to F$を定義し、$R$の基底$a_{1} , \cdots , a_{r}$と$F$の基底$e_{1} , \cdots , e_{n}$を選ぼう。

スミス標準形の同型写像: フリーアーベル群$G$、$G'$のランクがそれぞれ$n,m$であり、$g$が同型写像なら、次のような行列を持つ同型写像$g$が存在する。 $$\begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{r} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{Z}^{m \times n}$$ ここで$d_{1} , \cdots, d_{r} \in \mathbb{N}$であり、$d_{1} \mid \cdots \mid d_{r}$、つまり$d_{k}$は$d_{k+1}$の除数^divisorでなければならない。

$f$は単射、つまりモノモーフィズム^monomorphismなので、$f$の行列$\left( \lambda_{ij} \right)$にゼロ列^{zero Column}が存在することはありえない。この同形写像$f$に対し、$d_{1} \mid \cdots \mid d_{r}$であることと $$\begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{r} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}$$ を持つ行列を持つ同形写像$g : R \to F$が存在し、具体的に$i = 1 , \cdots , r$について $$g \left( a_{i} \right) = d_{i} e_{i}$$ である。$g \left( a_{i} \right) = a_{i}$であるため、$b_{1} e_{1} , \cdots , b_{r} e_{r}$は$R$の基底だ。

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