📂位相データ分析

行列のスミス標準形

定義 ^{1 2}

PID、すなわち主イデアル領域 $R$ が与えられたとする。行列 $A \in R^{m \times n}$ に対して、以下を満たす $d_{1} , \cdots , d_{r} \in R$ と 可逆行列 $P \in R^{m \times m}$、$Q \in R^{n \times n}$ が存在する場合、 $PAQ \in R^{m \times n}$ を $A$ のスミス標準形^{smith Normal form}という。 $$PAQ = \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{r} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \in R^{m \times n}$$ ここで、$d_{1} , \cdots , d_{r}$ は $R$ の中で $0$ でなく、$d_{1} \mid \cdots \mid d_{r}$ である必要がある。つまり、$d_{k} \ne 0$ は $d_{k+1}$ の因子^divisorでなければならない。

例

逆行列が複雑に見えるかもしれないが、実際には ガウスの消去法 を通して得ることができる。公式に使う表現ではないが、例を読みやすくするため、行列の右側にどのような操作を行ったかを示すことにする。$r-$ は行^row、$c-$ は列^column、$-x$ は交換^exchange、$-e$ は消去^elimination、$-+$ は該当の係数を乗じて足す操作だ。

もちろん、ガウスの消去法を通して計算することは、計算の面で賢明ではないかもしれない。手計算するときは、こんな風にも解けるんだなという程度に参考にしておこう。

整数環 $\mathbb{Z}$

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 &-1 &-1 \end{bmatrix} \sim & & \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -1 &-1 & 4 \end{bmatrix} & \qquad cx(1,3) \\ \sim & & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 6 \end{bmatrix} & \qquad ce(1 \to 2,3) \\ \sim & & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \end{bmatrix} & \qquad re(1 \to 2) \\ \sim & & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} & \qquad ce(2 \to 3) \end{align*}$$

ここで、$1 \mid 2$ に注意せよ。

多項式環 $\mathbb{Q} [x]$

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} x & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2x \\ -1 & 0 & x+1 \end{bmatrix} \sim & \begin{bmatrix} x & 2 & x \\ 0 & 1 & 2x \\ -1 & 0 & x \end{bmatrix} & \qquad c+(1 \to 3, 1) \\ \sim & \begin{bmatrix} x+1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & x \end{bmatrix} & \qquad re(3 \to 1, 2) \\ \sim & \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ x+1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & x \end{bmatrix} & \qquad rx(1,2) \\ \sim & \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & x+1 & 0 \\ 0 & -1 & x \end{bmatrix} & \qquad cx(1,2) \\ \sim & \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & x-3 & 0 \\ 0 & -1 & x \end{bmatrix} & \qquad re(1 \to 2) \\ \sim & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x-3 & 0 \\ 0 & -1 & x \end{bmatrix} & \qquad ce(1 \to 2) \\ \sim & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -x \\ 0 & x-3 & 0 \end{bmatrix} & \qquad rx(2,3) \\ \sim & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & x-3 & x(x-3) \end{bmatrix} & \qquad c+(2 \to 3, x) \\ \sim & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & x(x-3) \end{bmatrix} & \qquad r+(2 \to 3, -(x-3)) \end{align*}$$

解説

注意すべきことは、与えられた 主イデアル領域 $R$ が 体 であるとは限らず、一般には割り算が許されず、PID が ベズー領域 であることを利用して消去を行わなければならないことである。

結論

存在性と一意性

$R$ が 主イデアル領域 である場合、すべての 行列 $A \in R^{m \times n}$ に対してスミス標準形が一意に存在する。このときの一意性は $d_{k}$ の 単元倍を考慮しない。

証明

具体的にスミス標準形を求めるアルゴリズムを通じて示される。

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参考

• ベクトル場のノーマルフォーム